广东广州市真光中学（（高中部汾水校区））2025-2026学年高二下学期第一次阶段训练数学试题-含答案

这是一份广东广州市真光中学（（高中部汾水校区））2025-2026学年高二下学期第一次阶段训练数学试题-含答案，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 an 为等差数列， a3=2 ， a4=6 ，则 a5+a6= ( )
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
2. 有 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱, 可有不同的投入方法种数为 ( )
A. 81 B. 64 C. 27 D. 24
3. 已知函数 fx=xx−a2 在 x=1 处取得极大值,则 a= ( )
A. 9 或 1 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn+1=3Snn∈N∗,S2=9 ,则 a20= ( )
A. 2⋅319 B. 319 C. 320 D. 2⋅318
5. 曲线 y=eax+ax 在点 0,1 处的切线与直线 2x−y+1=0 垂直,则 a= ( )
A. −12 B. −14 C. 12 D. 1
6. 若函数 fx=−x2+ax+2lnx 在 1,2 上有最大值，则实数 a 的取值范围为( )
A. 0,+∞ B. 0,3 C. 3,+∞ D. 1,3
7. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 的上顶点, 直线 AF1 与椭圆相交于另一点 B ,若 BF2=32AB ,则椭圆 C 的离心率为( )
A. 23 B. 33 C. 63 D. 24
8. 已知 a=7ln4,b=8ln3,c=9ln2 ，则 a,b,c 的大小关系正确的一项是( )
A. c>b>a B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部 分分.
9. 已知点 A3,0 ， B0,3 ，点 P 在圆 C:x−32+y−42=4 上运动，则( )
A. 直线 AB 与圆 C 相离
B. PA 的最大值为 5
C. △PAB 的面积的最小值为 6−32
D. 圆 C 半径为 2
10. 已知双曲线 C:x2a2−y212=1a>0 的左右两个焦点分别是 F1,F2 ,焦距为 8,则 ( )
A. a=4
B. 双曲线 C 的离心率为 2
C. 双曲线 C 的渐近线方程为 3x±y=0
D. 若 M 是双曲线 C 上一点，且 MF1=5 ，则 △F1MF2 的周长为 22 或 14
11. 已知函数 fnx=xn+x+a,n∈N∗,a0,x≥0 ，若 fx>−23a 恒成立，求 a 的取值范围.
16. 已知 an 为等差数列， bn 为等比数列， bn 的前 n 项和
Sn=3⋅2n−3,a1=b1,a7+a16=b5.
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)记 cn=an−1bn+1 ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
17. 已知函数 fx=2aex−4x,gx=2csx+3x2
(1)当 a=12 时，求函数 fx 在 0,f0 处的切线方程；
(2)求不等式 gx+1>g2x 的解集；
18. 在四棱锥 E−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形且 AB=2BC=2 ，侧面 △ADE 是正三角形且垂直于底面 ABCD,F 是 AB 的中点， O 为 AD 的中点，求:

(1)异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值；
(2)点 O 到平面 EFC 的距离;
(3)二面角 E−FC−D 的余弦值.
19. 已知函数 fx=2ex−ax,a∈R .
(1)讨论 fx 的单调性；
(2)若 fx 在 R 上有两个零点，求实数 a 的取值范围；
(3)若函数 gx=12fx−x2 有两个极值点 x1,x2 ,证明: ex1+ex2>4 .
1. B
先计算等差数列的公差, 再进行求解即可.
公差 d=a4−a3=6−2=4 ,
则 a5+a6=a3+2d+a4+2d=2+8+6+8=24 .
2. A
利用分步计数原理, 每封信独立选择信箱, 将各步的方法数相乘得到总方法数。
每封信都有 3 种选择,所以将 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱,共有 34=81 种方法.
故选: A.
3. B
先求出导函数, 再根据极值点导函数为 0 求参数, 最后代入检验即可.
因为函数 fx=xx−a2 ,所以 f′x=x−a2+2xx−a=x−a3x−a , 又因为在 x=1 处取得极大值,所以 f′1=1−a3−a=0 ,所以 a=1 或 a=3 , 当 a=1 时， f′x=x−13x−1 ，所以 x∈13,1 ， f′x0,fx 单调递增,
所以 fx 在 x=1 处取得极小值,不符合题意舍去;
当 a=3 时， f′x=x−33x−3 ，所以 x∈−∞,1 ， f′x>0 ， fx 单调递增，
x∈1,3,f′x0 ,
则 lna=ln4ln7,lnb=ln3ln8,lnc=ln2ln9 ,
设 fx=lnxln11−x,x∈1,112 ，
则 f′x=ln11−xx−lnx11−x=11−xln11−x−xlnxx11−x ,
设 gx=11−xln11−x−xlnx ,
则 g′x=−ln11−x−1−lnx−1=−ln11−x−lnx−2 ,
当 1lnb>lnc ,所以 a>b>c .
故选: D
9. ACD
由圆的方程求出圆心和半径,可判断 D ; 由直线方程的截距式,表示出直线 AB 的方程,求出圆心到直线的距离大于半径,即可判断 A ; 由两点间距离公式求出 AC ,
PAmax=AC+2 ,计算即可判断 B ; 先求 PAmin=AC−2 ,再利用两点间距离公式求出 AB ,利用面积公式计算即可.

对于 A,∵ 圆 C 的方程为 x−32+y−42=4 ,
∴ 圆心的坐标为 C3,4 ,半径为 r=2 ,
∵A3,0,B0,3 ,
∴ 直线 AB 的方程为 x3+y3=1 ,即 x+y−3=0 ,
∴ 圆心 C 到直线 AB 的距离 d=3+4−312+12=22>2 ,
∴ 直线 AB 与圆 C 相离,故 A 正确;
对于 B,A3,0,C3,4 ,
∴PAmax=AC+2=3−32+4−02+2=6 ,故 B 错误;
对于 C,∵A3,0,B0,3 ,
∴AB=3−02+0−32=32 ,
∵ 圆心 C 到直线 AB 的距离 d=22 ,
∴ 点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 22−2 ，
∴△PAB 面积的最小值为 12×32×22−2=6−32 ,故 C 正确;
对于 D,∵ 圆 C 的方程为 x−32+y−42=4 ,
∴ 圆心的坐标为 C3,4 ,半径为 r=2 ,故 D 正确.
10. BC
先根据题意,求出 a,b,c 的值,再由选项内容逐一判断 A,B,C 项; 对于 D ,需要
按照点 M 在双曲线的左支还是右支进行分类,结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.
对于 A ,因双曲线的焦距为 2c=8 ,即得 c=4 ,由 C:x2a2−y212=1a>0 可得 b2=12 ,
则 a=c2−b2=16−12=2 ,故 A 错误;
对于 B ,由上分析, e=ca=42=2 ,故 B 正确;
对于 C ,由上分析可得, x24−y212=1 ,则该双曲线的渐近线方程为 x2±y23=0 ,即 3x±y=0 ,故 C 正确;
对于 D ,若点 M 在双曲线的左支上,由 MF2−MF1=4 可得 MF2=MF1+4=9 , 此时, △F1MF2 的周长为 MF2+MF1+F1F2=5+9+8=22 ; 若点 M 在双曲线的右支上,因 MF1≥c+a=6 ,这与已知 MF1=5 不符,故 D 错误. 故选: BC.
11. ACD
利用导数判断函数的单调性即可说明 A ,由单调性可得 fn00 ,即可求出 a 的范围判断 B ,当 a∈−2,0 时可得 xn∈0,1 ,推导出 fn+1x−fnx0 恒成立,
所以 f3x 在 R 上单调递增,
又 x→−∞ 时 f3x→−∞,x→+∞ 时 f3x→+∞ ,
所以函数 f3x 有且只有一个零点, A 说法正确;
选项 B: 当 x>0 时, fn′x=nxn−1+1>0 恒成立,所以 fnx 在 0,+∞ 上单调递增, 又 0,2⊆0,+∞ ,
所以若函数 fnx 在区间 0,2 内均存在零点,只需满足 fn0=a0 即可,
所以 −2n−2−23a ,即 12a2−16a3>−23a ,
解得 −1g2x 即 gx+1>g2x ,可得 x+1>2x ,
即 x+12>4x2 ,整理可得 3x+1x−10 时,由 f′x=0 得 x=lna2 ,
由 f′x>0 得 x>lna2 ,由 f′x1 ,时, m′x4 ,只需证 2t+2t⋅etet−1>4 ,即 t−2et+t+2>0 .
设 ℎt=t−2et+t+2t>0 ,则 ℎ′t=t−1et+1 .
令 φt=t−1et+1 ,则 φ′t=tet>0 ,可知 ℎ′t=t−1et+1 在 0,+∞ 上为增函数.
又 ℎ′0=0 ,所以 t>0 时, ℎ′t>0,ℎt=t−2et+t+2 在 0,+∞ 上为增函数.
所以 ℎt>ℎ0=0 ,即 t−2et+t+2>0 成立,所以 ex1+ex2>4 成立.