河南信阳高级中学新校（贤岭校区）国际部2025-2026学年高二下学期3月测试（二）数学试题含答案

这是一份河南信阳高级中学新校（贤岭校区）国际部2025-2026学年高二下学期3月测试（二）数学试题含答案，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线 y=−2 的倾斜角为( )
A. π2 B. 0
C. π4 D. −π2
2. 圆心为 2,2 ,且过原点的圆的方程是( )
A. x−22+y−22=8 B. x−22+y−22=2
C. x+22+y+22=8 D. x+22+y+22=2
3. 直线 l:3x+4y−1=0 被圆 C:x−12+y−22=5 截得的弦长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知双曲线 C:y29−x216=1 的上、下焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在双曲线 C 上,若 PF2=7 , 则 PF1= ( )
A. 1 B. 13 C. 1 或 13 D. 15
5. 记 Tn 为数列 an 的前 n 项积,且 a1=1,Tn+1−Tn=2n ,则 a6= ( )
A. 135 B. 136 C. 3121 D. 3120
6. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, BC=2,AB=BB1=4,E,F 分别是 A1B1,CD 的中点,则异面直线 A1F 与 BE 所成角的正切值为( )

A. 55 B. 5
C. 306 D. 66
7. 已知函数 fx 的导函数为 f′x ,若 fx=3xf′2+lnx+32x ,则 f′2= ( )
A. 1 B. -1 C. 12 D. −12
8. 若函数 fx=x3−3ax2−9a2x+1 在 −1,2 单调递减，则 a 的取值范围是( )
A. [1,+∞) B. −∞,−1]∪[2,+∞
C. −∞,−2]∪[1,+∞ D. −∞,−13]∪[1,+∞
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1 ,且 an+1=Snn∈N∗ ,则( ).
A. an 不是等比数列 B. a2=2
C. a4=4a2 D. Sn=2n−1
10. 已知圆 C:x2+y2−4y=0 ,直线 l 过点 1,1 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 圆 C 的半径为 2 B. 圆 C 的圆心坐标为 0,−2
C. 直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 22 D. 直线 l 被圆 C 截得的最长弦长为 4
11. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4,E,F 分别是 AD,DD1 的中点,点 P 是底面 ABCD 内一动点,则下列结论正确的为( )

A. 存在无数个点 P ,使得 FP// 平面 ABC1D1
B. 过 B,E,F 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥 C1−A1B1P 的体积为定值
D. 三棱锥 F−ACD 的外接球表面积为 36π
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 a 为单位向量. b=1,0,0 ,若 a−2b=1 ,则 a 在 b 上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知函数 fx=x−3ex−ax−4x 是 R 上的增函数,则 a 的值为_____.
14. 已知函数 gx=x3+mx ,若曲线 y=gx 在 x=0 处的切线也与曲线 ℎx=−2lnx 相切, 则实数 m= _____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知三角形三顶点 A3,1 ， B0,−2 ， C−1,0 ，求:
(1)直线 AB 的一般式方程；
(2) AB 边上的高所在直线的一般式方程.
(3)求三角形 ABC 的面积.
16. 已知等差数列 an 是递增数列,记 Sn 为数列 an 的前 n 项和, a1=1 ,且 a2,S3,a14 成等比数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=1anan+1 ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求证 Tn0 ，且点 F 到平面 A1BC1 的距离为 2121 ， 求 λ 的值.
18. 已知 F1−2,0,F22,0,O 为坐标原点,动点 P 满足 PF1⋅PF2+OP2=12 .
(1)求点 P 的轨迹方程；
(2) A,B 是点 P 轨迹上的点，且 S△AOB=22 . 记直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2 ，证明: k1⋅k2 为定值, 并求出该定值.
19. 已知函数 fx=x−2lnx+ax .
(1)当 a=3 时，求 fx 的单调区间；
(2)当 x≥1 时，不等式 fx≥0 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)证明: lnn0 分类讨论求解即可.
由题意得 f′x=ex+x−3ex−ax−ax−4=x−2ex−2a ,
因为 fx 是 R 上的增函数,所以 f′x=x−2ex−2a≥0 恒成立.
当 a≤0 时, ex−2a≥0 ,此时 x−2≥0 不恒成立,不满足题意;
当 a>0 时,要使 f′x=x−2ex−2a≥0 恒成立,
则 x≥2 时, ex−2a≥0 即 a≤ex2 恒成立,所以 a≤ex2min=e22 ,
x0,∴d=2 ,
∴an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1 ;
(2)证明: ∵bn=1anan+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ，
∴Tn=121−13+1213−15+⋯+1212n−1−12n+1
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=12−14n+21 时， fx=x−2lnx−1x>0 ，所以 2lnx1 ,
所以 2ln1+1n−1