2024-2025学年广东省广州市真光中学高一下学期3月阶段测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市真光中学高一下学期3月阶段测试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设{e1,e2}是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1−e2B. 3e1−e2和2e2−6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
2.已知a与b为非零向量，OA=a+b,OB=2a−b,OC=λa+μb，若A,B,C三点共线，则2λ+μ=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.已知点A3,−4与B−1,2，点P在直线AB上，且AP=2PB，则点P的坐标为( )
A. (−5,8)B. (13,0)
C. (7,−10)D. 13,0或−5,8
4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4)，AC=(1,3)，则BD=( )
A. −2,−4B. −3,−5C. 3,5D. 2,4
5.已知函数fx=csx+π3的图象上所有的点向右平移φφ0,ω>0,|φ|B，则csA0，则△ABC为锐角三角形
D. 若a−c⋅csB=a⋅csC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是( )
A. OB⋅OE=− 2
B. OA+OC=− 2OF
C. OA在OB上的投影向量为 22OB；
D. 若点P为正八边形边上的一个动点，则AP⋅AB的最大值为4．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a，b，b=3，向量a在向量b上的投影向量为−16b，则a⋅b= ．
13.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15∘，∠BDC=135∘，CD=20m，在点C测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB= m．
14.在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中点，延长AP交BC于点D.若AP=λ1AB+λ2AC，则λ1+λ2= ;若AD=3，∠BAC=60∘，则△ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=1,2 2，b=4，且a−2b⋅3a+b=−15.当k为何值时，
(1)向量2a+kb与ka−b互相垂直；
(2)向量a−kb与ka−2b平行．
16.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，已知AB=4,AC=10,∠BAC=60∘,M,N分别为BC,AC边上的中点，AM,BN相交于点P．
(1)求BC；
(2)求cs∠MPN的值．
17.(本小题15分)
如图所示，在▵ABC中，D是边BC的中点，E是线段AD的中点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设PB=λAP，QC=μAQ，(λ,μ≥0).
(1)求证：λ+μ为定值；
(2)设△APQ的面积为S1，▵ABC的面积为S2，求S1S2的取值范围．
18.(本小题17分)
已知向量a=(csx,2sinx),b=(2csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)=a⋅b在[0,π]上的单调递减区间；
(2)若fx0=115，且x0∈π6,π3，求cs2x0的值；
(3)将g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，当x∈0,π2时，方程g(x)=m有一解，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
在▵ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC= 3sin2B−cs2C+cs2A
(1)求A；
(2)若b=1,c=3,D为线段BC内一点，且BD:DC=1:2，求线段AD的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1,x2,y1,y2∈R，都有x1⋅x2+y1⋅y22≤x12+y12x22+y22被称为柯西不等式；在(1)的条件下，若a=2，求：a2+b2+c221−cs2A+1cs2π2−B+1sin2(π+C)的最小值；
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.−32
13.20 6
14.56；25 38
15.解：(1)∵a=1,2 2，∴a= 12+2 22=3，
∵a−2b⋅3a+b=−15，∴3a2−5a⋅b−2b2=−15，
∴3×32−5a⋅b−2×42=−15，∴a⋅b=2，
若向量2a+kb与ka−b互相垂直，则2a+kb⋅ka−b=0，
∴2ka2−kb2+k2−2a⋅b=0，
∴2k×32−k×42+2k2−2=0，
∴k2+k−2=0，解得k=1或k=−2．
(2)因为a⋅b=abcsa,b=2，即3×4csa,b=2，
则csa,b=16≠±1，所以a,b不共线，
若向量a−kb与ka−2b平行，则存在实数λ使得a−kb=λka−2b=λka−2λb成立，
所以1=λk且−k=−2λ，解得k=± 2．

16.解：(1)因为AB=4,AC=10,∠BAC=60∘，由余弦定理知：
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC=42+102−2×4×10×cs60∘=76，
所以BC=2 19．
(2)设AB=a,AC=b，
因为M,N分别为BC,AC的中点，
所以AM=12a+12b,BN=−a+12b．
因为a=4,b=10,a⋅b=4×10×12=20，
所以AM= 12a+12b2= 14×16+12×20+14×100= 39，
BN= −a+12b2= 16−20+14×100= 21．
又AM⋅BN=12a+12b⋅−a+12b=−12a|2−14a⋅b+14b|2=12，.
所以cs∠MPN=csAM,BN=AM⋅BNAM⋅BN=12 39× 21=4 9191．

17.解：(1)设AB=a,AC=b，
于是AE=12AD=14a+b，
又∵PB=λAP，QC=μAQ，λ、μ≥0，
AC=AQ+QC=1+μAQ ，AB=AP+PB=1+λAP，
∴AP=11+λa,AQ=11+μb，
根据向量的运算法则可知
PE=PA+AE=−11+λa+14a+b=14−11+λa+14b，
EQ=EA+AQ=−14a+b+11+μb=−14a+11+μ−14b，
∵P、E、Q三点共线，
∴PE=ωEQ⇒14−11+λ−14=1411+μ−14⇒14−11+λ⋅11+μ−14=−116，
整理可得：
1411+λ+11+μ=11+λ⋅11+μ⇒142+λ+μ=1，即λ+μ=2，
故λ+μ为定值，定值为2；
(2)设∠BAC=θ，
∵AP=11+λa,AQ=11+μb,λ+μ=2，
∴S1=S▵APQ=12AP⋅AQsinθ=12⋅11+λ⋅11+μa⋅bsinθ，
S2=S▵ABC=12AB⋅ACsinθ=12a⋅b⋅sinθ，
∴S1S2=12⋅11+λ⋅11+μa⋅b⋅sinθ12⋅a⋅b⋅sinθ=11+λ⋅11+μ=11+λ3−λ=1−λ2+2λ+3=14−λ−12，
∵λ、μ≥0,λ+μ=2，
∴0≤λ≤2，
∴S1S2=14−1−λ2∈14,13．

18.解：(1)因为f(x)=a⋅b
=2cs2x+2 3sin xcs x
=cs 2x+1+ 3sin 2x
=2cs(2x−π3)+1，
所以2kπ⩽2x−π3⩽π+2kπ,k∈Z，
即kπ+π6⩽x⩽2π3+kπ，k∈Z，
又因为x∈0,π，令k=0，所以函数f(x)在0,π上的单调递减区间为π6,2π3；
(2)若fx0=115 ，则2cs(2x0−π3)+1=115，所以cs(2x0−π3)=35．
因为x0∈π6,π3，所以2x0−π3∈0,π3，
所以sin(2x0−π3)= 1−cs2(2x0−π3)=45，
所以cs 2x0=cs (2x0−π3+π3)
=cs (2x0−π3)cs π3−sin (2x0−π3)sin π3
=35×12−45× 32=3−4 310，
故cs2x0=3−4 310．
(3)将f(x)=2cs(2x−π3)+1图象上所有的点的纵坐标变为原来的12，再向下平移1个单位，最后再向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，
则g(x)=cs2x−2π3−12，
当x∈0,π2时，2x−2π3∈−2π3,π3，
由方程gx=m有一解，可得m的取值范围为m∈[−1,0)∪{12}．

19.解：(1)因为2sinAsinBsinC= 3(sin2B−cs2C+cs2A)
所以2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C−sin2A)，
由正弦定理2bcsinA= 3(b2+c2−a2)，
所以sinA= 3b2+c2−a22bc= 3csA
即：tanA= 3，又A∈0,π，所以A=π3；
(2)(方法一)因为BD:DC=1:2，所以BD=12DC，
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
所以AD2=(23AB+13AC)2=19(2AB+AC)2=19(4c2+b2+4bccsA)
=19(36+1+4⋅3⋅12)=439，及AD= 433
(方法二)以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则B(3,0),C(12, 32)
则：AB=(3,0),AC=(12, 32),CB=(52,− 32),AD=AC+23CB=(136, 36)
所以AD=AD= 1362+ 362= 433；
(3)根据柯西不等式：(a2+b2+c2)21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)
=(a2+b2+c2)(1sin2A+1sin2B+1sin2C)
≥(asinA+bsinB+csinC)2=9(2sinπ3)2=48 (当且仅当▵ABC为正三角形时取等号)
即：(a2+b2+c2)21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)的最小值为48．