广东省广州市真光中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

展开

这是一份广东省广州市真光中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，若，则的值为（）
A．18B．15C．12D．9
2．设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A．函数f（x）有极大值f(-3)和f（3）B．函数f（x）有极小值f(-3)和f（3）
C．函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3)D．函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）
3．的展开式的常数项为（）
A．B．C．D．4
4．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（）
A．B．C．D．
5．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）
A．函数的最大值为1
B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
6．在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（）
A．9种B．36种C．38种D．45种
7．骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（）
A．B．C．D．
8．设，，．则（）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知二项式，则下列结论正确的是（）
A．第5项的二项式系数最大B．所有项的系数之和为1
C．有且仅有第6项的系数的绝对值最大D．展开式中共有4项有理项
10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
11．设函数，则（）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
13．在的展开式中，记项的系数为，则．
14．函数的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的单调性．
16．记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意成立，求实数的值；
(3)若，求证：．
19．在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．
(1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数；
(2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数；
(3)证明：（可不使用组合分析法证明）．
注：与可视为二元一次方程的两组不同解．
参考答案
1．【答案】D
【详解】在等差数列中，，
则.
故选D.
2．【答案】D
【详解】由题意，时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递增；
时，，单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f（3）.
故选D.
3．【答案】B
【详解】通项为常数项，
令可得，
所以，
故选B．
4．【答案】C
【详解】设事件为这个人患流感，表示这个人来自A，B，C三个地区，
由已知可得，
又，
由全概率公式可得
.
故选C.
5．【答案】C
【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到时，单调递增，当时，单调递减，故C正确，D错误.
【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，
实线部分为，
故恒成立，
故在R上单调递增，则A，B显然错误，
对于C，D，，
由图像可知，恒成立，故单调递增，
当，，单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.
故选C.
6．【答案】B
【详解】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种.
故选B.
7．【答案】C
【详解】事件表示两次点数的最小值为3，最大值为6，有，共2种情况，
事件包含，共7种情况，
所以.
故选C.
8．【答案】B
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0