【数学】黑龙江省五校联盟2025-2026学年高二上学期1月期末试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为的斜率为，所以的倾斜角为．
故选：A.
2. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ）
A. 2B. C. 1D. 4
【答案】B
【解析】点到轴的距离为.
故选：B.
3. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】对于A，因为，所以，，共面，故A错误；
对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，
，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确；
对于C，因为，所以，，共面，故C错误；
对于D，因为，所以，，共面，故D错误．
故选：B．
4. 双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】双曲线实半轴长，虚半轴长，且焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，即，则C正确，ABD错误.
故选：C.
5. 若数列满足，，则（ ）
A. -3B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由题可知：，，
，，
所以数列是周期为4的数列，
所以，
故选：D.
6. 某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【答案】C
【解析】假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则，
所以，得．
故选：C.
7. 已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（ ）
A. B. 2
C. 4D.
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即，
所以，因为当时，最小，
所以，故的最小值是.
故选：B.

8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ）
A. 996B. 995C. 1014D. 1024
【答案】B
【解析】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端1后，第行剩余个数.
第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字；
那么，
当时，，即前9行去掉1后有28个数.
所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字.
杨辉三角前行和为，
前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）.
第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9，
前7个数字和为.
所以此数列的前35项和为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则（ ）

A.
B.
C. 在平面上的投影向量的模长为
D. 在上的投影向量为
【答案】AC
【解析】，A正确；
，B错误；
过作，垂足为，易知，
根据直三棱柱的性质可知，
因为平面，
所以平面，
过作，垂足为，易知，
同理可得平面，
即在平面上的投影向量为，，C正确；
过作，垂足为，易知，过作，垂足为，
易知，即在上的投影向量为，D错误.
故选：AC

10. 已知直线：，直线：，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线过定点B. 直线在轴上的截距为11
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，直线：，
整理得，
令，解得：，
直线过定点，故A正确；
对于B，直线：在轴上的截距，
令代入：得：
，解得，
直线在轴上的截距为-11，故B错误；
对于C，直线：，直线：，
，
，解得：，故C正确；
对于D ，直线：，直线：，
，
解得：，故D错误.
故选：A C.
11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A. B. 是等比数列
C. 数列的前100项和为5050D.
【答案】ACD
【解析】由，得，则，
所以，所以是首项为，公比为3的等比数列．
由，得，
A选项，，，所以，A正确；
B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误；
C选项，因为，所以是等差数列，
所以的前100项和为5050，C正确；
D选项，由，得，得，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆的短轴长为________.
【答案】
【解析】化成标准方程为：，
所以，所以该椭圆的短轴长为；
故答案为：
13. 直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______.
【答案】 ① ②.
【解析】圆的方程为：，
圆心，半径，
圆心，到直线：的距离为：，
.
由切线性质,，
要使最小，需要最小，
点在轴上，设，
，
当时，取最小值3，
.
故答案为：，.
14. 在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设，
则．
易得函数为增函数．
由，，得，，
所以，故的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若为正项等比数列，且，，求．
解：（1）设的公差为．由得
所以.
（2）设的公比为．由
得（舍去），．
所以．
16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）∵侧面底面，侧面底面，，
底面，
∵底面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
（2）由（1）得，．
设平面的法向量为，
则令，则，，
得平面的法向量为．
易得平面的一个法向量为，
∴平面与平面夹角的余弦值为．
17. 在数列中，．
（1）求的通项公式．
（2）若数列的前项和为，证明：．
（3）若，求数列的前项和．
（1）解：当时，，得．
当时，，
，
两式相减得，则．
当时，符合上式，
所以．
（2）证明：由（1）得，
所以，
故．
（3）解：由（1）得，
则，
，
所以，
所以．
18. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知经过点的直线与交于，两点，且；
（i）求直线的方程；
（ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.
（1）解：因为直线和之间的距离为1，
所以点到直线的距离与到点的距离相等，
由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线，
设曲线的方程为，得，得，
故曲线的方程为;
（2）（i）解：设，，的方程为，
由，消去得，
所以，.
因为，
所以，即直线的方程为.

（ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方，
由（i）知，，，
设的方程为，，，，
由，消去得，
所以，.
直线的斜率，方程为，
直线的斜率，方程为
由，消去得，
整理得
，
因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.
19. 已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）因为椭圆的离心率为，所以.
焦点与短轴端点围成的四边形为菱形，其面积为，即，
又，
联立解得，，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，左焦点.
设直线方程为，，，.
则，.
联立，整理得.
，
所以，.
.
要使为定值，即与无关，
所以，解得，即，
此时.
所以定点，定值为.