2026中考数学高频考点一轮复习：一元一次方程（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：一元一次方程（试题含解析），共30页。

A．1dmB．2dmC．3dmD．2dm
2．（2025春•商水县校级期末）已知关于x的方程2x﹣k＝3的解是x＝1，则k的值是（ ）
A．﹣7B．﹣1C．1D．5
3．（2025春•新乡期末）已知x＝2是关于x的方程x+a＝﹣3的解，那么a的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
4．（2025•富锦市三模）某工厂计划生产一批口罩，原计划每天生产10000个，由于疫情形势变化，实际每天生产的数量比原计划增加20%，结果提前5天完成生产任务．设原计划生产x个口罩，根据题意可列方程为（ ）
A．x10000-x10000×(1+20%)=5
B．x10000×(1+20%)-x10000=5
C．x10000-x10000×20%=5
D．x10000×20%-x10000=5
5．（2025春•南沙区期末）已知关于x的方程x+2k＝4（x+k）+1有负数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣0.5B．k＜﹣0.5C．0＜k＜8D．k＞﹣4
6．（2025春•新乡期末）下列变形正确的是（ ）
A．由a＝b，可以得到a﹣2＝b+2
B．由﹣m＝5，可以得到m＝﹣5
C．由3a＝2b，可以得到a=32b
D．由x2=-y3，可以得到2x＝﹣3y
7．（2025•益阳二模）在古代，算筹是中国传统的计算工具．《孙子算经》中有这样的记载：某工坊制作两种类型的算筹盒，大算筹盒和小算筹盒．已知2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，且每个大算筹盒比小算筹盒多容纳4根算筹．设每个小算筹盒能容纳x根算筹，则可列方程为（ ）
A．2（x+4）+3x＝48B．2x+3（x+4）＝48
C．2（x﹣4）+3x＝48D．2x+3（x﹣4）＝48
8．（2025春•重庆期中）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（ ）
A．若4a＝2，则a＝2B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若a+3＝b+3，则a＝bD．若a＝b，则a-3=b-3
9．（2025•南岸区校级二模）已知整式M=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a3，a2，a1，a0均为整数，a12+a22+a32≠0，且a0+a1+a2+a3＝4，下列结论：①满足条件的整式M中有4个单项式；②若(a0-a1+a2)2+a32=0，则方程M＝0一定有实数解；③若|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|，则满足条件的整式M共有5个；其中说法正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（2025春•万州区期末）关于x的多项式A＝ax+b，B＝cx+d，其中a、b、c、d均为正整数，下列说法：
①若a＝b＝1，且关于x的方程A＝B有无数个解，则c＝d＝1；
②若b+d＝2，且关于x的方程A+B＝0有整数解，则a＝c＝1；
③若a+b+c+d＝5，则这样的多项式B共有3个．
其中正确的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
二．填空题（共5小题）
11．（2025•樊城区校级模拟）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求人数和羊价各是多少？答：人数是 人，羊价是 枚钱．
12．（2025春•淮安期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格．图①就是一个幻方，将9个不同数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和都相等．图②是一个未完成的幻方，则m的值是 ．
13．（2025春•嵊州市期末）若商品的进价为100元，毛利率为20%(毛利率=售价-进价售价)，则该商品的售价是 元．
14．（2024秋•西陵区期末）若x＝2是关于x的一元一次方程a﹣bx＝3的解，则代数式5﹣2a+4b的值是 ．
15．（2024秋•济源期末）北京时间2024年12月4日22时12分，中国政府申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．这是我国第44项被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）的项目．值得一提的是，2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．2025年1月29日是我国的春节．如表是2025年1月的月历，任意圈出一竖列上相邻的四个数，这四个数的和刚好为74，则这四个数中最小的数是 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•南沙区校级期中）如图，已知A（0，b+8），B（0，b），C（c，b），D（2，0）是AC中点，点C在第四象限且点C到x轴、y轴的距离相等，S△ABO＝16．
（1）求C点坐标；
（2）EF、FD分别为∠AED、∠ADO的平分线，且∠AED+∠ODC＝180°，求证：DE⊥DC；
（3）P，Q分别是线段AB和线段BC上的动点．点P从点A出发，以每秒1单位的速度走向点B，到达点B后立刻以相同的速度走回点A，点Q从点B出发，以每秒1单位的速度走向点C，到达点C后立刻以相同的速度走回点B，来回折返，直至点P回到点A后停止运动．问在运动期间会否出现S△DOC=13S△APD？若有，请求出相应时间t；若无，请说明理由．
17．（2025春•朝阳区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A开始运动，以每秒2cm的速度沿A→B→C的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒3cm的速度沿射线CB方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P在BC上运动时，PC＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）当点P运动到BC中点时，求线段BQ的长；
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值；
（4）当点P在BC上运动时，连结DP、DQ，直接写出三角形CDQ的面积被线段DP分成1：2两部分时t的值．
18．（2025春•南沙区校级期中）如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中∠OMN＝∠POQ＝60°．
（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在∠MON的内部且平分∠MON，∠PON＝k∠BOQ，求实数k的值；
（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OQ在∠MON的内部，∠BOQ与∠PON大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC、OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，求旋转时间t的值．
19．（2024秋•西陵区期末）1896年，挪威生理学家古德贝尔对人在闭眼走路时打转的问题进行了深入研究，他收集大量事例后分析得出结论：人的两条腿在走路时的步长存在差异，当蒙上眼睛时，由于没有参照物修正方向，人不可能走成直线，总是会偏左或者偏右，最终形成一个圆．
小明走路时左右两脚的踏脚线间的距离大约是0.1米，如图是小明蒙眼行走形成的圆圈，设右脚行走形成的圆半径为R．
（1）填空：小明蒙眼走完一圈后，他的右脚走的路程是 米，左脚走的路程是 米，所以在一圈中，左脚比右脚多迈出了 米，（用含R的代数式表示，结果保留π）
（2）若小明蒙眼走完一圈后，左右脚的步数相同，且小明右脚的平均步长为0.6米，左脚比右脚每步多迈出x米．
①小明左右脚的步数为 ；（用含R的代数式表示，结果保留π）
②当x＝0.001时，求R的值．
20．（2025春•朝阳区校级期中）已知直线X与Y互相垂直，垂足为O，点A在射线OX上运动，点B在射线OY上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，PA平分∠OAB，PB平分∠OBA，PA与PB相交于点P，则∠P＝ ．
（2）如图2，PA平分∠OAB，PB平分∠ABC，点C是射线OY上一点，PA与PB交于点P．
①若∠BAO＝40°，则∠P＝ ．
②在点A，B的运动过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不变，求出∠P的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在射线BA上，∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF与∠BOG的平分线所在的直线分别相交于点C，F，点D、G在直线Y和直线X上．在△ACF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
中考数学一轮复习 一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•伊川县期末）如图是一块大正方形地板砖，其图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成，若大正方形地板砖的边长为4dm，A是OE的中点，则图案中小正方形的边长为（ ）
A．1dmB．2dmC．3dmD．2dm
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设AB＝x dm，P、Q、R为大正方形的三个顶点，E、F为五边形的顶点，因为大正方形由四个全等的五边形和一个小正方形组成，大正方形的边长为4dm，所以∠OEQ＝∠OEP＝90°，∠OFQ＝∠OFR＝90°，∠Q＝90°，QR＝4dm，则四边形OEQF是矩形，所以OE＝FQ＝FR=12QR＝2dm，∠AOB＝90°，可证明OA＝OB，由AB=2OA，得AE＝OA=22AB=22x dm，则22x+22x＝2，求得x=2，所以小正方形的边长为2dm，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AB＝x dm，P、Q、R为大正方形的三个顶点，E、F为五边形的顶点，则PQ＝RQ，
∵大正方形由四个全等的五边形和一个小正方形组成，大正方形的边长为4dm，
∴∠OEQ＝∠OEP=12×180°＝90°，∠OFQ＝∠OFR=12×180°＝90°，∠Q＝90°，QR＝4dm，
∴四边形OEQF是矩形，
∴OE＝FQ＝FR=12QR＝2dm，∠AOB＝90°，
∵OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，且AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AB=OA2+OB2=2OA，
∴OA=22AB=22x dm，
∵A是OE的中点，
∴AE＝OA=22x dm，
∴22x+22x＝2，
解得x=2，
∴小正方形的边长为2dm，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，推导出OA=22AB是解题的关键．
2．（2025春•商水县校级期末）已知关于x的方程2x﹣k＝3的解是x＝1，则k的值是（ ）
A．﹣7B．﹣1C．1D．5
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先解出方程2x﹣k＝3未知数x=3+k2，再由题中的x＝1可得新方程3+k2=1，即可求出k的值．
【解答】解：2x﹣k＝3，
2x＝3+k，
x=3+k2，
∵关于x的方程2x﹣k＝3的解是x＝1，
∴3+k2=1，解得：k＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，理解方程2x﹣k＝3的解含未知数k，重新列新方程是解题的关键．
3．（2025春•新乡期末）已知x＝2是关于x的方程x+a＝﹣3的解，那么a的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可．
【解答】解：由条件可知2+a＝﹣3，
解得a＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．（2025•富锦市三模）某工厂计划生产一批口罩，原计划每天生产10000个，由于疫情形势变化，实际每天生产的数量比原计划增加20%，结果提前5天完成生产任务．设原计划生产x个口罩，根据题意可列方程为（ ）
A．x10000-x10000×(1+20%)=5
B．x10000×(1+20%)-x10000=5
C．x10000-x10000×20%=5
D．x10000×20%-x10000=5
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据原计划的天数﹣实际天数＝5列出方程即可．
【解答】解：设原计划生产x个口罩，
根据题意得：x10000-x10000(1+20%)=5，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是找到等量关系列出方程．
5．（2025春•南沙区期末）已知关于x的方程x+2k＝4（x+k）+1有负数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣0.5B．k＜﹣0.5C．0＜k＜8D．k＞﹣4
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】解方程得出x=-2k+13，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．
【解答】解：x+2k＝4x+4k+1，
x﹣4x＝4k+1﹣2k，
﹣3x＝2k+1，
x=-2k+13，
由条件可知-2k+13＜0．
解得：k＞﹣0.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于k的不等式是解题的关键．
6．（2025春•新乡期末）下列变形正确的是（ ）
A．由a＝b，可以得到a﹣2＝b+2
B．由﹣m＝5，可以得到m＝﹣5
C．由3a＝2b，可以得到a=32b
D．由x2=-y3，可以得到2x＝﹣3y
【考点】等式的性质．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据等式的基本性质逐项分析验证即可．
【解答】解：根据等式的基本性质逐项分析验证如下：
A、由a＝b，两边分别减2和加2，等式不再成立，变形错误，例如，若a＝b＝5，则a﹣2＝3，b+2＝7，显然不等，故不符合题意；
B、由﹣m＝5，两边同乘﹣1得m＝﹣5，变形正确，故符合题意；
C、由3a＝2b，两边同除以3得a=23b，而非32b，变形错误，故不符合题意；
D、由x2=-y3，两边同乘6得3x＝﹣2y，而选项D为2x＝﹣3y，显然不等，变形错误，例如，取x＝2，y＝﹣3，原式成立，但代入D选项得4＝9，矛盾，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查等式的基本性质，需逐一验证各选项的变形是否符合等式变形规则，熟练掌握等式的基本性质是解此题的关键．
7．（2025•益阳二模）在古代，算筹是中国传统的计算工具．《孙子算经》中有这样的记载：某工坊制作两种类型的算筹盒，大算筹盒和小算筹盒．已知2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，且每个大算筹盒比小算筹盒多容纳4根算筹．设每个小算筹盒能容纳x根算筹，则可列方程为（ ）
A．2（x+4）+3x＝48B．2x+3（x+4）＝48
C．2（x﹣4）+3x＝48D．2x+3（x﹣4）＝48
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设每个小算筹盒能容纳x根算筹，得到每个大算筹盒能容纳（x+4）根算筹，根据2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，列出方程即可．
【解答】解：由题意得：2（x+4）+3x＝48；
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是关键．
8．（2025春•重庆期中）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（ ）
A．若4a＝2，则a＝2B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若a+3＝b+3，则a＝bD．若a＝b，则a-3=b-3
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】等式的性质有：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
对于A，利用等式的性质2，等式两边同时除以4即可求出a；
对于B，利用等式的性质2，等式两边同时乘c2，可得ac2＝bc2；
对于C，利用等式的性质1，等式两边同时减3，可得a＝b；
对于D，利用等式的性质2，等式两边同时除以﹣3，可得a-3=b-3．
【解答】解：对于A，若4a＝2，则4a÷4＝2÷4，所以a=12，故A错误；
对于B，若a＝b，则a×c2＝b×c2，所以ac2＝bc2，故B正确；
对于C，因为a+3＝b+3，所以a+3﹣3＝b+3﹣3，可得a＝b，故C正确；
对于D，因为a＝b，所以a÷（﹣3）＝b÷（﹣3），所以a-3=b-3，故D正确．
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是熟练运用等式的性质．
9．（2025•南岸区校级二模）已知整式M=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a3，a2，a1，a0均为整数，a12+a22+a32≠0，且a0+a1+a2+a3＝4，下列结论：①满足条件的整式M中有4个单项式；②若(a0-a1+a2)2+a32=0，则方程M＝0一定有实数解；③若|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|，则满足条件的整式M共有5个；其中说法正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】一元一次方程的解；绝对值；单项式；多项式．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题中所给规定，对每种情况进行分析，再进行判断即可．
【解答】解：根据单项式，一元二次方程的解，整式相关运算法则逐项分析判断如下：
∵a12+a22+a32≠0，
∴a0＝4这个单项式不满足条件，
∴满足条件的整式M的单项式为4x，4x2，4x3这三种，
故①不正确；
∵(a0-a1+a2)2+a32=0，
∴a3＝0，a0＝a1﹣a2，
则可得a1﹣a2+a1+a2＝4，
解得a1＝2，
∴M=2-a2+2x+a2x2=0，
∵Δ=4-4a2(2-a2)=4a22-8a2+4=(2a2-2)2≥0，
∴方程M＝0一定有实数解，故②正确；
当|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|＝1时，只有a0＝a1＝a2＝a3＝1这一种情况，
当|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|＝2时，此时a1，a2，a3，a4中有一个数是﹣2，其余三个是2，则有4种情况，
∴满足条件的整式M共有5个；
故③正确，
故选：C．
【点评】本题考查单项式，一元二次方程的解，整式，解题的关键是掌握相关知识的运算和推理．
10．（2025春•万州区期末）关于x的多项式A＝ax+b，B＝cx+d，其中a、b、c、d均为正整数，下列说法：
①若a＝b＝1，且关于x的方程A＝B有无数个解，则c＝d＝1；
②若b+d＝2，且关于x的方程A+B＝0有整数解，则a＝c＝1；
③若a+b+c+d＝5，则这样的多项式B共有3个．
其中正确的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【考点】一元一次方程的解；多项式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】①把a＝b＝1代入A，要使方程A＝B有无数解的条件是两多项式完全相同，因此可得出c、d的值；
②要时解为整数，分母必须为分子的因数，结合正整数限制确定唯一解；
③通过总和约束分解正整数的可能组合，统计不同的c+d，从而得出结果．
【解答】解：①当a＝b＝1时，A＝x+1，
∴A＝B⇒x+1＝cx+d，若方程有无数个解，则需满足：c＝1，d＝1，故①正确；
②方程A+B＝0即（a+c）x+（b+d）＝0，解得：x=-b+da+c，
∵b+d＝2，
∴x=-2a+c，要使x为整数，则a+c＝1或2，
∵a、c均为正整数，
∴a+c＝2，即a＝c＝1，故正确；
③∵a+b+c+d＝5，a、b、c、d均为正整数，
∴c+d＝2或3，
当c+d＝2时，c＝d＝1，
当c+d＝3时，c＝1，d＝2或c＝2，d＝1，故③正确，
故选A．
【点评】本题考查了一次方程解的情况、整数解条件以及组合计数问题．需要结合一次方程的解的条件、整数解的限制以及正整数分解的组合数进行分析．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•樊城区校级模拟）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求人数和羊价各是多少？答：人数是 21 人，羊价是 150 枚钱．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】21，150．
【分析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：5×买羊人数+45＝7×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．
【解答】解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）枚钱，则：
5x+45＝7x+3，
解得x＝21，
5×21+45＝150（枚钱），
答：买羊人数为21人，羊价为150枚钱．
故答案为：21，150．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2025春•淮安期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格．图①就是一个幻方，将9个不同数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和都相等．图②是一个未完成的幻方，则m的值是 14 ．
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】14．
【分析】借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最左下角的数和最中间的数，再利用第三行和第二列的数字之和相等列出方程，解之即可．
【解答】解：如图，
由条件可知2+（﹣4）+m＝m+6+a，
解得：a＝﹣8，
∵2+c+6＝6+a+m，
∴c＝m﹣10，
∵a+c+e＝m+a+6，
∴e＝m+6﹣c＝m+6﹣m+10＝16，
∵m+c+d＝d+e+2，
∴m+m﹣10＝16+2，
解得：m＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
13．（2025春•嵊州市期末）若商品的进价为100元，毛利率为20%(毛利率=售价-进价售价)，则该商品的售价是 125 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】125．
【分析】设该商品的售价是x元，根据毛利率为20%，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设该商品的售价是x元，
由题意得：20%x＝x﹣100，
解得：x＝125，
即该商品的售价是125元，
故答案为：125．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2024秋•西陵区期末）若x＝2是关于x的一元一次方程a﹣bx＝3的解，则代数式5﹣2a+4b的值是 ﹣1 ．
【考点】一元一次方程的解；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】把x＝2代入a﹣bx＝3，得到a﹣2b＝3，整体代入法求值即可．
【解答】解：由条件可得：a﹣2b＝3，
∴5﹣2a+4b＝5﹣2（a﹣2b）＝5﹣2×3＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键．
15．（2024秋•济源期末）北京时间2024年12月4日22时12分，中国政府申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．这是我国第44项被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）的项目．值得一提的是，2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．2025年1月29日是我国的春节．如表是2025年1月的月历，任意圈出一竖列上相邻的四个数，这四个数的和刚好为74，则这四个数中最小的数是 8 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】可设圈出的四个数中最小的数为y，然后利用上面发现的规律用含y的代数式分别表示出圈出的另三个数，再根据四个数的和为74列出方程并求解．
【解答】解：设圈出的四个数中最小的数为y，利用上面发现的规律用含y的代数式分别表示出圈出的另三个数，可得：另三个数分别为y+7、y+14、y+21，
则：y+（y+7）+（y+14）+（y+21）＝74，
∴y＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•南沙区校级期中）如图，已知A（0，b+8），B（0，b），C（c，b），D（2，0）是AC中点，点C在第四象限且点C到x轴、y轴的距离相等，S△ABO＝16．
（1）求C点坐标；
（2）EF、FD分别为∠AED、∠ADO的平分线，且∠AED+∠ODC＝180°，求证：DE⊥DC；
（3）P，Q分别是线段AB和线段BC上的动点．点P从点A出发，以每秒1单位的速度走向点B，到达点B后立刻以相同的速度走回点A，点Q从点B出发，以每秒1单位的速度走向点C，到达点C后立刻以相同的速度走回点B，来回折返，直至点P回到点A后停止运动．问在运动期间会否出现S△DOC=13S△APD？若有，请求出相应时间t；若无，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；点的坐标；角平分线的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）C（4，﹣4）；
（2）见解答；
（3）t=247s或t=245s或t=565s或t=887s．
【分析】（1）先根据面积公式求出BC＝4，则C（4，b），再由中点坐标公式求出b＝﹣4即可；
（2）根据角平分线以及∠AED+∠ODC＝180°证明∠OED＝∠ADO，再由三角形内角和定理结合互余关系即可求证；
（3）分4种情况讨论，分别用t的代数式表示AP，CQ，根据面积公式建立方程求解．
【解答】解：（1）∵A（0，b+8），B（0，b），C（c，b），
∴AB＝b+8﹣b＝8，CB⊥y轴，
∴S△ABC=16=12×8×BC．
∴BC＝4，
∴C（4，b），
∵D（2，0）是AC 中点，
∴b+8+b＝0，
∴b＝﹣4，
∴C（4，﹣4）；
（2）证明：如图，
∵EF、FD分别为∠AED、∠ADO的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，
∵∠AED+∠ODC＝180°，
∴2x+180°﹣2y＝180°，
∴x＝y，
∴∠OED＝∠ADO，
∵在Rt△OED中，∠OED+∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ADO+∠ODE＝90°＝∠ADE，
∴DE⊥DC；
（3）会出现S△DQC=13S△APD，理由如下：点P从点A出发回到点A用时（8+8）÷1＝16s，点Q从点B到点C用时4+1＝4s，
当0≤t＜4时，如图：
则 AP＝t，CQ＝4﹣t，S△DQC=13S△APD12(4-t)×4=13×12×2t，解得：t=247s；
当4≤t＜8时，如图：
则 AP＝t，CQ＝t﹣4，S△DQC=13S△APD，
∴12(t-4)×4=13×12×2t，解得：t=245s；
当8≤t＜12时，如图：
则AP＝8﹣（t﹣8）＝16﹣t，CQ＝4﹣（t﹣8）＝12﹣t，
∴S△DQC=13S△APD，
∴12(12-t)×4=13×12×(16-t)×2，
解得：t=565s；
当12≤t≤16时，如图：
则 AP＝8﹣（t﹣8）＝16﹣t，QC＝t﹣12，
∴S△DQC=13S△APD12(t-12)×4=13×12×(16-t)×2，解得：t=887s，
综上所述：t=247s或t=245s或t=565s或t=887s．
【点评】本题考查中点坐标，三角形内角和定理，三角形面积公式，一元一次方程，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17．（2025春•朝阳区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A开始运动，以每秒2cm的速度沿A→B→C的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒3cm的速度沿射线CB方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P在BC上运动时，PC＝ （14﹣2t） cm（用含t的代数式表示）；
（2）当点P运动到BC中点时，求线段BQ的长；
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值；
（4）当点P在BC上运动时，连结DP、DQ，直接写出三角形CDQ的面积被线段DP分成1：2两部分时t的值．
【考点】一元一次方程的应用；矩形的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）（14﹣2t）；
（2）7cm；
（3）t＝2或=145；
（4）t=72或t=143．
【分析】（1）用AB+BC的长减去点P的路程，列出代数式即可；
（2）求出点P运动的时间，进而求出点Q的路程，利用线段的和差关系，进行求解即可；
（3）分三种情况进行讨论求解即可；
（4）分S△CDPp：S△DQP＝1：2和S△CDP：S△DQP＝2：1两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意，当点P在BC上运动时，PC＝AB+BC﹣2t＝（14﹣2t）cm；
故答案为：（14﹣2t）；
（2）由题意，t=(6+82)÷2=5，此时CQ＝3×5＝15（cm），
∴BQ＝CQ﹣BC＝15﹣8＝7（cm）；
（3）点P运动到点B所需时间为：6÷2＝3s，
点Q运动到点B所需时间为：8÷3=83s，
全程的运动时间为：（6+8）÷2＝7s，
①0≤t≤83时，则：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
∴BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝（8﹣3t）cm，
∴6﹣2t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
②83＜t≤3时，则：BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝（3t﹣8）cm，
∴6﹣2t＝3t﹣8，解得：t=145；
③3＜t≤7时，BP＝（2t﹣6）cm，BQ＝CQ﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∴2t﹣6＝3t﹣8，解得：t＝2（舍去）；
综上：t＝2或=145；
（4）当点P在BC上运动时，则：
BP＝（2t﹣6）cm，CQ＝3tcm，
∴PQ＝CQ﹣BC+BP＝3t﹣8+2t﹣6＝（5t﹣14）cm，
CP＝BC﹣BP＝（14﹣2t）cm，
当S△CDP：S△DQP＝1：2时，
则：PQ＝2CP，即：5t﹣14＝2（14﹣2t），
解得：t=143，
当S△CDP：S△DQP＝2：1时，
则：2PQ＝CP，
即：2（5t﹣14）＝14﹣2t，
解得：t=72，
综上：t=72或t=143．
【点评】本题考查列代数式，与三角形的高有关的计算，一元一次方程的应用，正确的列出方程和代数式是解题的关键．
18．（2025春•南沙区校级期中）如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中∠OMN＝∠POQ＝60°．
（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在∠MON的内部且平分∠MON，∠PON＝k∠BOQ，求实数k的值；
（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OQ在∠MON的内部，∠BOQ与∠PON大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC、OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，求旋转时间t的值．
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】一次方程（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k=35；
（2）不发生变化，∠BOQ与∠PON的差是定值，该定值为30°；
（3）在OC与OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，旋转时间t为15或754或1232或71.5．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠PON＝∠MON＝45°，则∠NOQ＝∠POQ﹣∠PON＝15°，再求出∠BOQ的度数即可得到答案；
（2）分OP在AB上方和OP在AB下方两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可；
（3）先求出旋转前OC与OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．
【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，
∴∠PON＝∠MON＝45°，
∴∠NOQ＝∠POQ﹣∠PON＝15°，
∴∠BOQ＝180°﹣∠MON﹣∠NOQ＝75°，
∴75k＝45，
∴k=35；
（2）如图所示，当OP在AB上方时，
∵∠BOQ＝180°﹣∠POQ﹣∠POM＝120°﹣∠POM，∠PON＝∠MON﹣∠POM＝90°﹣∠POM，
∴∠BOQ﹣∠PON＝120°﹣∠POM﹣（90°﹣∠POM）＝30°；
如图所示，当OP在AB下方时，
∵∠BOQ＝180°﹣∠POQ+∠POM＝120°+∠POM，∠PON＝∠MON+∠POM＝90°+∠POM．
∴∠BOQ﹣∠PON＝120°+∠POM﹣（90°+∠POM）＝30°；
综上所述，∠BOQ与∠PON的差是定值，该定值为30°；
（3）∵射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ，C∠NOC＝45°，∠POD＝30°，
∴旋转前OC与OD的夹角为∠COD＝∠NOC+∠NOP+∠POD＝165°，
∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）＝33秒，
此时OB旋转的角度为33×6°＝198°∴此时OC与OE的夹角为198°﹣（180°﹣45°﹣2°×33）＝129°，
∴OC与OD第二次相遇的时间为33+360°÷（2°+3°）＝105（秒），
设在OC与OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，需要旋转时间为t，
①当OC，OE相遇前（2+6）t＝45+90﹣15，解得，t＝15；
②当OC，OE第一次相遇后（2+6）t＝45+90+15，解得，t=754；
③当OC，OD第一次相遇后，OC，OE相遇前 （6﹣2）（t﹣33）＝129﹣15，解得t=1232；
④当OC，OD第一次相遇后，OC，OE相遇后（6﹣2）（t﹣33）＝139+15，解得，t＝71.5；
∴在OC与OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，旋转时间t为15或754或1232或71.5．
【点评】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键．
19．（2024秋•西陵区期末）1896年，挪威生理学家古德贝尔对人在闭眼走路时打转的问题进行了深入研究，他收集大量事例后分析得出结论：人的两条腿在走路时的步长存在差异，当蒙上眼睛时，由于没有参照物修正方向，人不可能走成直线，总是会偏左或者偏右，最终形成一个圆．
小明走路时左右两脚的踏脚线间的距离大约是0.1米，如图是小明蒙眼行走形成的圆圈，设右脚行走形成的圆半径为R．
（1）填空：小明蒙眼走完一圈后，他的右脚走的路程是 2πR 米，左脚走的路程是 2π（R+0.1） 米，所以在一圈中，左脚比右脚多迈出了 0.2π 米，（用含R的代数式表示，结果保留π）
（2）若小明蒙眼走完一圈后，左右脚的步数相同，且小明右脚的平均步长为0.6米，左脚比右脚每步多迈出x米．
①小明左右脚的步数为 10πR3 ；（用含R的代数式表示，结果保留π）
②当x＝0.001时，求R的值．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式；代数式求值．
【专题】其他问题；应用意识．
【答案】（1）2πR，2π（R+0.1），0.2π；
（2）①10πR3；②60米．
【分析】（1）根据圆的周长公式求出右脚和左脚走的路程，然后求出它们的差即可；
（2）①用右脚走的路程除以右脚的平均步长求解即可；②根据“左右脚的步数相同”列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵右脚行走形成的圆半径为R，左右两脚的踏脚线间的距离大约是0.1米，
∴右脚走的路程是2πR米，左脚走的路程是2π（R+0.1）米，
所以在一圈中，左脚比右脚多迈出了2π（R+0.1）﹣2πR＝0.2π米，
故答案为：2πR，2π（R+0.1），0.2π；
（2）解：①根据题意，得小明左右脚的步数为2πr0.6=10πR3，
故答案为：10πR3；
②根据题意，得10πR3=2π(R+0.1)0.6+0.001，
解得R＝60米．
【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（2025春•朝阳区校级期中）已知直线X与Y互相垂直，垂足为O，点A在射线OX上运动，点B在射线OY上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，PA平分∠OAB，PB平分∠OBA，PA与PB相交于点P，则∠P＝ 135° ．
（2）如图2，PA平分∠OAB，PB平分∠ABC，点C是射线OY上一点，PA与PB交于点P．
①若∠BAO＝40°，则∠P＝ 45° ．
②在点A，B的运动过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不变，求出∠P的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在射线BA上，∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF与∠BOG的平分线所在的直线分别相交于点C，F，点D、G在直线Y和直线X上．在△ACF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
【考点】一元一次方程的应用；三角形内角和定理．
【专题】一次方程（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）135°；（2）①45°；②不变；（3）45°和36°．
【分析】（1）根据题意得∠PAB=12∠OAB∠ABP=12∠OBA根据∠OBA+∠OAB=90°得到∠PAB+∠ABP=45°，在△ABP中，利用内角和即可求解；
（2）①根据题意得∠PAB=12∠BAO=20°，根据直线X与Y互相垂直，可以求得∠OBA=50°，∠ABC=130°，由PB平分∠ABC，求出∠PBO＝∠CBQ＝65°，利用三角形内角和可以求得∠P；
②同理根据①可以求得；
（3）根据∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF，可以求得∠CAO+∠OAF＝90°，根据在△ACF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，①当∠CAF是∠C的4倍时，即∠C＝22.5°∠F＝67.5°，根据CF平分∠BOG得∠AOF＝45°，在△AOF 中利用内角和可以求得∠OAF＝67.5°，根据∠CAO+∠OAF＝90°，求得∠CAO＝∠BAC＝22.5°，根据∠CAO+∠ODA＝90°求得∠OAF＝∠ODA＝67.5°，在△ABD中利用外角即可求得∠ABO；
②当∠F是∠C的4倍时，即∠C＝18°，∠F＝72°，同①做法．
【解答】解：（1）∵直线X与Y互相垂直，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵PA平分∠OAB，PB平分∠OBA，
∴∠PAB=12∠OAB
∠ABP=12∠OBA，
∴∠PAB+∠ABP=12∠OAB+12∠OBA=45°
在△ABP中，∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝135°，
故答案为：135°；
（2）①
∵PA平分∠OAB，∠BAO＝40°
∴∠PAB=12∠BAO=12×40°=20°
∵直线X与Y互相垂直，
∴∠OBA+∠OAB＝90°
∴∠OBA＝50°，
∵∠OBA+∠ABC＝180°
∴∠ABC＝130°
∵PB平分∠ABC，
∴∠CBQ=12∠ABC=12×130°=65°
∴∠PBO＝∠CBQ＝65°在△ABP 中，∠P＝180°﹣（∠PBO+∠OBA+∠PAB）＝45°，
故答案为：45°；
②不变，理由如下：
∵PA平分∠OAB，
∴∠PAB=12∠BAO，
∵直线X与Y互相垂直，
∴∠OBA＝90°﹣∠OAB，
∵∠OBA+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°+∠OAB，
∵PB平分∠ABC，
∴∠CBQ=12∠ABC=12(90°+∠OAB)=45°+12∠OAB，
∴∠PBO=∠CBQ=45°+12∠OAB，
在△ABP 中，
∠P＝180°﹣（∠PBO+∠OBA+∠PAB）
＝180°﹣（45°+2∠OAB+∠OBA+2∠BAO）
＝180°﹣（45°+∠OAB+∠OBA）
＝45°，
故答案为：45°；
（3）∵∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF，
∴∠CAO=∠BAC=12∠BAO，
∠OAF=12∠OAE，
∵∠BAO+∠OAE=180°，12∠BAO+12∠OAE=180°，
即∠CAO+∠OAF＝90°，
根据在△ACF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，
①当∠CAF是∠C的4倍时，
在△ACF 中，∠CAF+∠C+∠F＝180°，
∴∠C＝22.5°，∠F＝67.5°，
∵CF 平分∠BOG，
∴∠AOF＝45°，
在△AOF 中，∠AOF+∠OAF+∠F＝180°，
∴∠OAF＝67.5°，
∵∠CAO+∠OAF＝90°，
∴∠CAO＝∠BAC＝22.5°，
∵∠CAO+∠ODA＝90°，
∴∠OAF＝∠ODA＝67.5°，
在△ABD中，∠BAC+∠ABO＝∠ODA，
即22.5°+∠ABO＝67.5°即∠ABO＝45°；
②当∠F是∠C的4倍时，
在△ACF 中，∠CAF+∠C+∠F＝180°，
∴∠C＝18°，∠F＝72°，
∵CF 平分∠BOG，
∴∠AOF＝45°，
在△AOF 中，∠AOF+∠OAF+∠F＝180°，
∴∠OAF＝63°，
∵∠CAO+∠OAF＝90°，
∴∠CAO＝∠BAC＝27°，
∵∠CAO+∠ODA＝90°，
∴∠OAF＝∠ODA＝63°
在△ABD中，∠BAC+∠ABO＝∠ODA，
即27°+∠ABO＝63°，
即∠ABO＝36°，
故答案为：45°和36°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握是解答本题的关键．
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