山东省青岛第三十九中学（中国海洋大学附属中学）2025-2026学年第二学期学3月月考九年级数学试题含答案

这是一份山东省青岛第三十九中学（中国海洋大学附属中学）2025-2026学年第二学期学3月月考九年级数学试题含答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题用圆规，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题满分 27 分，共有 9 道小题，每小题 3 分)
1. 如图所示的几何体的俯视图为( )

A.

B.

C.

D.

2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，( 1 )( 2 )( 3 )( 4 )处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( )

A. (1)处可填 ∠A=90∘ B. (2)处可填 AD=AB
C. (3)处可填 DC=CB D. (4)处可填 ∠B=∠D
3. 如果关于 x 一元二次方程 2x2+3x+m=0 有两个不相等的实数根,那么实数 m 的取值范围为( )
A. m>98 B. m>89 C. m≤98 D. m0 的图象与正方形的两边 AB,BC 分别交于点 E,F,FD⊥x 轴,垂足为 D ,连接 OE,OF,EF,FD 与 OE 相交于点 G . 下列结论: ① OF=OE ; ②四边形 AEGD 与 △FOG 面积相等；③若 EF=CF+AE=4 ， k=8 ；④若 ∠EOF=60∘ ， EF=4 ， 则直线 FE 的函数解析式为 y=−x+26 . 其中正确的个数为( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题(本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分)
10. 若 ab=53 ，则 a+ba−b= _____.
11. 计算 cs60∘−tan45∘ 的结果为_____.
12. 为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查，这种电子产品销售单价定为 200 元时, 每天可售出 300 个; 若销售单价每降低 1 元, 每天可多售出 5 个. 已知每个电子产品的固定成本为 100 元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 32000 元？若设降价后的销售单价为 x 元，则可列方程为_____.
13. 在上午的某一时刻, 阳光下身高 1.7 米的小刚在地面上的影长为 3.4 米, 小明测得同一校园中旗杆在地面上的影子长 16 米, 还有 2 米影子落在与地面垂直的墙上, 根据这些条件可以知道旗杆的高度为_____m.
14. 如图所示, AB 为 ⊙O 的直径、 CD 是 ⊙O 的弦, AB、CD 的延长线交于点 E ,已知 AB=2DE ， ∠AEC=22∘ ，则 ∠AOC= _____.

15. 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示,与 x 轴的一个交点坐标为 4,0 ,抛物线的对称轴是直线 x=1 . 下列结论: ① abc0 ；⑤若 x1,y1 和 x2,y2 是抛物线上两点，则当 x1−1>x2−1 时， y1>y2 其中正确的是_____.

三、作图题(本题满分 4 分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕 迹
16. 已知 ∠α 及线段 a ,求作一个菱形 ABCD ,菱形 ABCD 的一个内角 ∠A=∠α ,且对角线 AC=a .


四、解答题(本大题满分 71 分，共 9 小题)
17. 解方程: x2−4x−35=0 .
18. 求二次函数 y=x2−x−3 的图象与一次函数 y=−3x−4 的图象的交点坐标.
19. 春节期间小惠一家打算从“崂山”“栈桥”“八大关”“海军博物馆”这四个著名景点中选择两处游玩, 于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点, 决定用抽签的方式来选择游玩的地点.
(1)若小惠从四张卡片中随机抽取一张，景点“八大关”被抽中的概率是_____.
(2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“栈桥”和 “海军博物馆”两个景点的概率. (记“崂山”为 A，“栈桥”为 B，“八大关”为 C，“海军博物馆”
为 D )
20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活. 如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图② 是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高 AB 所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为 35∘ ,此时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线,继续向房屋方向走 8 m 到达点 D 时,又测得屋檐 E 点的仰角为 60∘ , 房屋的顶层横梁 EF=10 m ， EF∥CB ， AB 交 EF 于点 G (点 C ， D ， B 在同一水平线上). (参考数据: sin35∘≈0.6,cs35∘≈0.8,tan35∘≈0.7,3≈1.7 )

图①

图②
(1)求屋顶到横梁的距离 AG ；
(2)求房屋的高 AB (结果精确到 1m ).
21. 已知:在平行四边形 ABCD 中，分别延长 BA ， DC 到点 E ， H ，使得 BE=2AB ， DH= 2CD . 连接 EH ，分别交 AD ， BC 于点 F ， G .

(1)求证: AF=CG ；
(2)连接 BD 交 EH 于点 O ，若 EH⊥BD ，则当线段 AB 与线段 AD 满足什么数量关系时，四边形 BEDH 是正方形?
22. 如图,一次函数 y1=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y2=mxm≠0 的图象交于第二、 四象限内的 A、B 两点,点 A 的坐标为 −2,4 ,点 B 的坐标为 8,n .

(1)则 m=2 ， n=3 ；
(2)若 y1>y2 时，则 x 的取值范围是_____；
(3)过点 B 作 BC⊥y 轴于 C 点，连接 AC ，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D ，求线段 CD 的长.
23. 操作与研究: 如图, △ABC 被平行于 CD 的光线照射, CD⊥AB 于 D,AB 在投影面上.

图1

图2
(1)指出图中线段 AC 的投影是_____，线段 BC 的投影是_____；
(2)问题情景:如图 1，Rt △ABC 中， ∠ACB=90∘ ， CD⊥AB ，我们可以利用 △ABC 与 △ACD 相似证明 AC2=AD×AB ,这个结论我们称之为射影定理,请证明这个定理;
(3)拓展运用:如图 2，正方形 ABCD 的边长为 15，点 O 是对角线 AC 、 BD 的交点，点 E 在 CD 上,过点 C 作 CF⊥BE ,垂足为 F ,连接 OF ; 若 BE=17 ，则 OF= _____.
24. 如图 1, 悬索桥两端主塔塔顶之间的主索, 其形状可近似地看作抛物线, 水平桥面与主索之间用垂直吊索连接. 已知两端主塔之间水平距离为 800 m ，两主塔塔顶距桥面的高度为 42 m ,主索最低点 P 离桥面的高度为 2 m ,若以桥面所在直线为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴, 建立如图 2 所示的平面直角坐标系.

图1

图2
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点 P 左下方桥梁上的点 M−30,−1 处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点 P 和右侧主索最高点 D .
(i)求主索到射灯光线的最大竖直距离；
(ii) 现将这个射灯沿水平方向向右平移, 并保持光线与原光线平行, 若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索. 则最多向右平移_____米.
25. 如图，在 △ABC 中， ∠ABC=90∘ ， BC=6 ， AB=8 ， D 为边 AC 的中点，点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 运动到点 B 停止,同时点 Q 从点 B 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 BC−CD 运动到点 D 停止，当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动. 过点 Q 作 QM//AB 交 △ABC 的边于点 M ，以 PM 和 QM 为边作 □PMQN . 设点 Q 的运动时间为 t (秒).


备用图
(1)用含 t 的代数式表示 CQ 长；
(2)点 Q 在 BC 边上运动时(不含 B 、 C )，若 □PNMQ 的面积为S，求出 S 关于 t 的函数关系式,并求出 t 为何值时, S:S△ABC=1:2 ;
(3)当点 Q 不与 △ABC 的顶点重合时，连结 BD ，直接写出 BD 将 □PMQN 分成面积相等的两部分时 t 的值.
1. C
根据从上边看得到的图形是俯视图, 可得答案.
解: 几何体的俯视图为:

2. D
本题主要考查了菱形的判定, 矩形的判定, 正方形的判定, 熟知菱形的判定, 矩形的判定, 正方形的判定条件是解题的关键.
解: A、有一个角是直角的平行四边形是矩形,则 (1) 处可填 ∠A=90∘ ,原说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则(2)处可填 AD=AB ，原说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形,则(3)处可填 DC=CB ,原说法正确,不符合题意;
D、菱形的对角本身相等，(4)处填 ∠B=∠D 不能得到四边形 ABCD 是正方形，原说法错误， 符合题意;
故选: D.
3. D
Δ=b2−4ac>0 ,据此求解即可.
解: ∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2+3x+m=0 有两个不相等的实数根,
∴Δ=32−4×2m>0 ,
整理得 9−8m>0 ,
解得 m0 的图象与正方形的两边 AB,BC 分别交于点 E,F , ∴k=2+22×2=4+42 ,③ 错误;
∵S△OCF=S△OFD=S△OAE=12k ,
∴S△OFG+S△OGD=S△OGD+S四边形AEGD ,
∴S△OFG=S四边形AEGD ,② 正确；
作 FM⊥OE 于点 M ,如图

∵∠EOF=60∘,EF=4 ,
∴△EFO 为等边三角形, OM=EM=2,∠OFM=30∘,OF=EF=4 ,
在正方形 OABC 中, OC=AB,CF=AE ,
∴BF=BE ，即 △BFE 为等腰直角三角形，
∴BF=BE=22EF=22 ，
设正方形的边长为 a ,则 OC=a,CF=a−22 ,
在 Rt △OCF 中, OF2=OC2+CF2 ,
即 16=a2+a−222 ,解得 a1=2−6(舍去)a2=2+6
∴OC=OA=2+6,CF=AE=6−2 ,
∴F6−2,6+2,E6+2,6−2
设直线 EF 的解析式为 y=kx+b ,过点 F6−2,6+2,E6+2,6−2
则有 6+2=6−2k+b6−2=6+2k+b 解得 k=−1b=26
故直线 EF 的解析式为 y=−x+26 ; ④正确；
故正确序号为①②④，
故选 B.
10. 4
根据已知的比例关系设出参数,把 a 和 b 用含参数的式子表示,再代入待求式,通过约分消去参数得到结果.
解: ∵ab=53 ,
∴ 设 a=5k,b=3kk≠0 ,
则 a+ba−b=5k+3k5k−3k=8k2k=4 .
11. −12##−0.5
根据特殊角三角函数值, 可得答案.
解: 原式 =12−1=−12 ,
故答案为: −12 .
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值, 熟记特殊角三角函数值是解题关键.
12. x−100300+5200−x=32000
本题考查了一元二次方程的实际应用, 根据总利润 = 单个利润 × 销售个数, 根据题意找出销售一个电子产品的盈利和销售电子产品的个数, 即可解题.
解: 由题可知,销售一个电子产品的盈利为: x−100 元,
∵该电子产品销售单价定为 200 元时, 每天可售出 300 个; 若销售单价每降低 1 元, 每天可多售出 5 个,
∴ 销售电子产品的个数为: 300+5200−x 个,
∴ 根据题意可列出方程: x−100300+5200−x=32000 ,
故答案为: x−100300+5200−x=32000 .
13. 10
在同一时刻物高和影长成正比, 即在同一时刻的两个物体, 影子, 经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 利用相似比和投影知识解题, 身高 1.7 米的小刚
在地面上的投影长为 3.4 米, 所以实际高度和影长之比为 1 比 2, 因此墙上的 2 米投射到地面上为 4 米, 即旗杆影长一共为 20 米, 根据实际高度和影长之比为 1 比 2, 据此列比例解答.
解: 设旗杆的高为 x 米,
因为 小刚的身高小刚的影长=
所以墙上的 2 米投射到地面上为 2÷12=4 米,即旗杆影长一共为 16+4=20 (米),
∴
3.4x=1.7×20
解得: x=10
答: 旗杆高 10 米.
故答案为 10 .
14. 66∘
根据圆上直径与半径的关系推得 OD=DE ,根据等边对等角得出
∠DOE=∠AEC=22∘ ,根据三角形外角性质得到 ∠CDO=44∘ ,根据等边对等角得出
∠OCE=∠ODC=44∘ ,根据三角形外角性质即可得出答案.
解: ∵AB=2DE,AB=2OD ,
∴OD=DE ,
∴∠DOE=∠AEC=22∘ ,
∴∠CDO=∠DOE+∠OED=44∘ ,
又: OC=OD ,
∴∠OCD=∠CDO=44∘ ,
∴∠AOC=∠OCD+∠OEC=44∘+22∘=66∘ .
15. ①②③④
根据抛物线开口,对称轴判断 a,b,c 的符号即可判断①,将 −2,0 代入解析式,结合函数图象即可判断②,根据抛物线与 y=2 有交点判断 ③,将 b=−2a 代入 4a−2b+c=0 得出 c=−8a ,进而判断④,根据抛物线开口向下,离对称轴越近,函数值越大,即可判断 ⑤.
解: 根据抛物线开口向下,可知 a0 ,
抛物线与 y 轴的交点在正半轴,
所以 c>0 ,故 abc0 ，④正确；
当 x1−1>x2−1 时,说明点 x1,y1 离对称轴远,
因为抛物线开口向下, 离对称轴越近, 函数值越大,
所以 y10 ,
∴x=4±1562=4±2392=2±39 ,
解得 x1=2+39,x2=2−39 .
18. −1,−1
将两函数解析式联立方程组, 解方程组即可.
解: 联立方程组 y=x2−x−3y=−3x−4 ,
解得 x=−1y=−1
∴ 二次函数 y=x2−x−3 的图象与一次函数 y=−3x−4 的图象的交点坐标为 −1,−1 .
19. 114
(2) 16
(1)根据简单的概率公式, 解答即可.
(2)根据画树状图法，求概率解答即可.
本题考查了简单的概率公式, 树状图法求概率, 熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键.
(1)解:根据题意，得景点“八大关”被抽中的概率是 14 .
(2)解:根据题意，画树状图如下:

一共有 12 种等可能性, 其中抽到“栈桥”和“海军博物馆”两个景点的有 2 种等可能性.
故小惠恰好抽到“栈桥”和“海军博物馆”两个景点的概率是 212=16 .
20. (1)屋顶到横梁的距离 AG 为 3.5m
(2)房屋的高 AB 约为 13m
本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题, 轴对称图形, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
(1)根据轴对称的性质可得 AG⊥EF,EG=12EF=5m ，再利用平行线的性质可求出 ∠AEG 的度数,然后在 Rt△AEG 中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答;
(2)过点 E 作 EH⊥BC ，垂足为 H ，根据题意可得 EH=GB ，先设 DH=x m ，在 Rt△DEH 中,利用锐角三角函数定义求出 EH 的长,从而在 Rt△ECH 中,利用锐角三角函数的定义列出关于 x 的方程,进行计算即可解答.
(1)解: 由题意得 AG⊥EF,EG=12EF=5 m ,
∵EF//CB ,
∴∠AEG=∠ECB=35∘ ,
在 Rt △AEG 中, AG=EG⋅tan35∘≈5×0.7=3.5 m ,
∴ 屋顶到横梁的距离 AG 为 3.5 m ;
(2)解:过点 E 作 EH⊥BC ，垂足为 H ，如图所示:

则 EH=GB ,
设 DH=x m ,
在 Rt △DEH 中, ∠EDH=60∘,EH=DH⋅tan60∘=3x m ,
∵CD=8 m ,
∴CH=CD+DH=8+xm ,
在 Rt △ECH 中, ∠C=35∘,tan35∘=EHCH=3x8+x≈0.7 ,
∴x=5.6 ,
经检验 x=5.6 是原方程的根,
∴GB=EH=3x≈9.52 m ，
∴AB=AG+GB=3.5+9.52≈13 m ，
∴ 房屋的高 AB 约为 13 m .
21.
(1)要证明 AF=CG ，只要证明 △EAF≅△HCG 即可；
(2)利用已知可得四边形 BEDH 是菱形,所以当 AE2+DE2=AD2 时, ∠BED=90∘ ，四边形 BEDH 是正方形.
(1)证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD ,
∴∠AEF=∠CHG ,
∵BE=2AB,DH=2CD ,
∴BE=DH ,
∴BE−AB=DH−DC ，
∴AE=CH ，
∴∠BAD+∠EAF=180∘ ， ∠BCD+∠GCH=180∘ ，
∴∠EAF=∠GCH ，
∴△EAF≅△HCGASA ,
∴AF=CG ；
(2)解:当 AD=5AB 时，四边形 BEDH 是正方形；
理由: ∵BE∥DH,BE=DH ,
∴ 四边形 EBHD 是平行四边形,
∵EH⊥BD ,
∴ 四边形 EBHD 是菱形,
∴ED=EB=2AB ,
当 AE2+DE2=AD2 时,则 ∠BED=90∘ ,
∴ 四边形 BEDH 是正方形,即 AB2+2AB2=AD2 ,
∴AD=5AB ,
∴ 当 AD=5AB 时，四边形 BEDH 是正方形.

22. 1−8,−1
(2) x