山东聊城市东昌中学等校2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题含答案

这是一份山东聊城市东昌中学等校2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每题 3 分)
1. 下列方程中是一元二次方程的是( ).
A. 2x2−y−1=0 B. 2x=1
C. x2+xx+7=0 D. 1x2=1+x
2. 在 Rt △ABC 中, ∠C=90∘,AB=10,sinA=35 ,则 tanA 的值是( )
A. 34 B. 43 C. 35 D. 45
3. 在同一平面直角坐标系中,若 ab1 时, y 随 x 的增大而减小. 其中正确的有( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题(每题 3 分)
11. 函数 y=1x+3 中自变量 x 的取值范围是_____.
12. 已知 a 是一元二次方程 x2+2x−2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2026 的值为_____.
13. 如图,将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,C 均在格点上,则 tanC 的值是_____.

14. 已知抛物线 y=−2x−12+3 ，当 0≤x≤3 时， y 的取值范围为_____.
15. 如图,在矩形 ABCD 中, AB=1,AD=3 ,边 BC 上有一点 E ,作射线 AE ,将射线 AE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ ,交 CD 的延长线于点 G ,以线段 AE,AG 为邻边作矩形 AEFG ,则 DGBE= _____.

16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 y=x2 . 将 x 轴绕原点 O 逆时针旋转 45∘ ,交抛物线于点 A1 ,将直线 OA1 绕点 A1 顺时针旋转 45∘ ,交抛物线于点 A2 ,将直线 A1A2 绕点 A2 逆时针旋转 45∘ ,交抛物线于点 A3 ,将直线 A2A3 绕点 A3 顺时针旋转 45∘ ,交抛物线于点 A4… ，依次进行下去，则点 A2025 的坐标为_____.

三、解答题
17. 解决下列问题:
(1)计算: 6tan30∘−12+3−π+3−10 ；
(2)解方程: 3x−12=23x−1 .
18. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， DE 的延长线经过点 C ，且 ACAE=BCDE ， ∠1=∠2 .

(1)求证: △ABC∽△ADE ；
(2)若 AD=4 ， AB=6 ， AC=5 ，求 AE 的长.
19. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台 AM 的高为 3.04 米,如图所示. 左侧步道 AB 的长度为 42 米,倾斜角为 38∘ ,右侧步道 DE 的倾斜角为 28∘ ,支架 AC,NF 都与地面垂直, AN,MD 都与地面平行,两支架之间的距离 CF 为 2 米 (点 B,C,F,E 在同一条直线上).

(1)求右侧步道 DE 的长度；
(2)两步道的底端分别为 B,E ，求 BE 的长. (结果精确到 0.1 . 参考数据:
sin38∘≈0.62,cs38∘≈0.78,tan38∘≈0.78,sin28∘≈0.46,cs28∘≈0.88,tan28∘≈0.52 )
20. 把一边长为 40 cm 的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子 (纸板的厚度忽略不计). 如图, 若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形, 将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.

(1)要使折成的长方形盒子的底面积为 484 cm2 ，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方形盒子的侧面积为 600 cm2 ，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长; 如果没有, 说明理由.
21. 如图, AB 是 ⊙O 的直径,弦 AC 平分 ∠BAD ,过点 C 作 CD⊥AD 于点 D .

(1)求证: CD 是 ⊙O 的切线；
(2)已知点 E 是半圆 AEB 上一点，连接 EB,EC ，若 ∠BEC=30∘ ，且 AC=8 ，求 ⊙O 的半径.
22. 在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,抛物线 y=ax2+bx+3 ( b 是常数).
(1)若 a=−1 ，且抛物线经过点 1,4 .
① 求该抛物线对应的函数表达式；
②若点 M 在抛物线上,横坐标为 m ,点 N 的横坐标为 m+2 ,纵坐标与点 M 的纵坐标相同,点 A 在 y 轴上,纵坐标为 m . 当点 M 和点 A 的纵坐标不相等时,作点 A 关于点 M 的对称点 B ,作点 A 关于点 N 的对称点 C ,连接 AB,AC,BC . 试说明线段 BC 的长度为 4 .
( 2 )若直线 y=ax+c 经过点 A1,2c+2 ，与抛物线的交点为 B2,1 ，当 t≤x≤t+1 时，求 y=ax2+bx+3 的最小值.
1. C
本题考查了一元二次方程的定义,
根据一元二次方程的定义 (只含一个未知数, 且未知数的最高次数为 2 的整式方程), 逐一判断各选项即可.
解: : 一元二次方程需满足: ①只含一个未知数; ②未知数最高次数为 2; ③整式方程,
选项 A: 含未知数 x 和 y ,不符合①;
选项 B: 方程 2x=1 中未知数次数为 1,不符合②;
选项 C: 化简 x2+xx+7=0 ,得 x2+x2+7x=0 ,即 2x2+7x=0 ,满足①②③;
选项 D: 方程 1x2=1+x 为分式方程,不符合③,
故选: C.
2. A
本题考查直角三角形的三角函数定义及勾股定理, 熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 先根据正弦定义求出对边 BC 的长度,再利用勾股定理求出邻边 AC 的长度, 最后根据正切定义计算 tanA 的值即可.
解: ∵ 在 Rt△ABC 中, ∠C=90∘,sinA=35 ,
∴sinA=BCAB=35 ,
∵AB=10 ,
∴BC=10×35=6 ,
由勾股定理得, AC=AB2−BC2=102−62=64=8 ,
∴tanA=BCAC=68=34 ,
故选: A.
3. A
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象,分类讨论是关键. 根据 a、b 的取值, 分别判断出两个函数图象所过的象限, 要注意分类讨论.
解: ∵ab0,b0,b−3 .
解: 由题意得: x>−3 .
故答案为 x>−3 .
12. 2030
本题考查了一元二次方程的解, 代数式求值, 由一元二次方程的解可得
a2+2a=2 ,再代入代数式计算即可求解,熟练掌握知识点是解题的关键.
解: ∵a 是一元二次方程 x2+2x−2=0 的一个实数根,
∴a2+2a−2=0 ,
∴a2+2a=2 ,
∴2a2+4a+2026=2a2+2a+2026=2×2+2026=2030 ,
故答案为:2030.
13. 43
本题考查锐角三角函数的定义及运用, 在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边, 构造直角三角形是本题的关键.
根据题意构造直角三角形 △CBD 如图所示,点 D 在格点上,从而可以求出 tanC 的值.
解: 构造直角三角形 △CBD 如图所示,点 D 在格点上,

由图可得 tanC=ADCD=43 ,
故答案为: 43 .
14. −5≤y≤3
本题考查二次函数的性质. 由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标, 进而求解.
解: ∵y=−2x−12+3,−2