山东省淄博市张店区第七中学2025-2026学年第二学期九年级数学3月月考试题含答案

这是一份山东省淄博市张店区第七中学2025-2026学年第二学期九年级数学3月月考试题含答案，共30页。试卷主要包含了 有下列四个算式等内容，欢迎下载使用。
1. 面积为 9 的正方形，其边长等于( )
A. 9 的平方根 B. 9 的算术平方根
C. 9 的立方根 D. 9 的算术平方根
2. 二次根式 1−x 在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围在数轴上表示为 ( )
A.

B.

C.

D.

3. 利用公式法解得一元二次方程 3x2−11x−1=0 的两个根为 a,b ,且 a>b ,则 a 的值为( )
A. −11+1096 B. −11+1336 C. 11+1096 D. 11+1336
4. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是( )
A. 了解一批节能灯管的使用寿命 B. 了解某校 803 班学生的视力情况
C. 了解某省初中生每周上网时长情况 D. 了解京杭大运河中鱼的种类
5. 有下列四个算式: ① −5++3=−8 ; ② −−23=6 ; ③ −56+−16=23 ;
④ −3÷−13=9 . 其中，正确的有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
6. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成. 判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变()

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 若一组数据 x1,x2,x3,⋯,xn 的方差为 2,则数据 x1+3,x2+3,x3+3,⋯,xn+3 的方差是 ( )
A. 2 B. 5 C. 6 D. 11
8. 如图,在一张三角形 ABC 纸片中, ∠ACB=90∘,BC=5,AC=12,⊙O 是它的内切圆, 小明用剪刀沿着 ⊙O 的切线 DE 剪下一块三角形 ADE ,则 △ADE 的周长是( )

A. 17 B. 19 C. 20 D. 22
9. 如图,在矩形 OABC 和正方形 CDEF 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 C、F 均在 x 轴正半轴上,点 D 在边 BC 上, BC=2CD,AB=3 ,若反比例函数 y=kxx>0 的图像过 B , E 两点,则 k 的值为( )

A. 9 B. 12 C. 18 D. 24
10. 如图,关于 x 的函数 y 的图象与 x 轴有且仅有三个交点,分别是 −3,0、−1,0、3,0 , 对此,小华认为: ① 当 y>0 时, −3AB . 在点 A,C 之间的晾衣绳上有固定挂钩 E,AE=13 分米,一件连衣裙 MN 挂在点 E 处(点 M 与点 E 重合)，且直线 MN⊥l .

图1

图2
(1)如图 1，当该连衣裙下端点 N 刚好接触到地面水平线 l 时，点 E 到直线 AB 的距离 EG 等于 12 分米,求该连衣裙 MN 的长度;
(2)如图 2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩 F 处再挂一条长裤(点 F 在点 E 的右侧),若 ∠BAE=76.1∘ ，求此时该连衣裙下端 N 点到地面水平线 l 的距离约为多少分米?
(结果保留整数,参考数据: sin76.1∘≈0.97,cs76.1∘≈0.24,tan76.1∘≈4.04 )
20.【项目式学习】根据以下素材, 探索完成任务.
【素材 1】在入夏之际我市某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”. 每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵 2 元，购买 1 杯“芝士杨梅”和 2 杯“满杯杨梅”共需 53 元.
【素材 2】每逢周六, 该奶茶店生意比平时好, 当天销售“芝士杨梅”共获利润 400 元, “满杯杨梅”获利润 480 元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的 54 倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖 20 杯.
【问题解决】任务 1: 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少?
任务 2: 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少?
(每杯利润= 全局利润, 每杯利润= 每杯售价- 每杯成本 )
21. 如图, AB 为 ⊙O 的直径, C,G 为圆上两点, CE//AG ,且与 GB 的延长线交于点 E,CD⊥AB ，垂足为点 F,CB 平分 ∠DCE .

(1)求证: CE 为 ⊙O 的切线；
(2)若 tan∠CAB=12 ，求 AGGB 的值.
22. 综合与探究
【探索发现】如图 1,小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形, 使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角, 此时该四边形称为“双等四边形”, 原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”, 如图 2,在 △ABC 中, AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC . 此时,四边形 ABCD 是“双等四边形", △ABC 是“伴随三角形”.

图1

图2

图3
【问题解决】如图 3,在四边形 ABCD 中, AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC . 求: ① AD 与 BC 的位置关系为:_____；② AC2 _____ AD⋅BC (填“>”)，“0 ，直线 y2=bx+1a 与二次函数 y=ax2+bx+b2−4b4 相交于 C1a,p 和 Dm,n 两点， 其中 p≠0 .
① 求 b 的值；
② 当 1≤x≤3 时,求二次函数 y=ax2+bx+b2−4b4 的最大值.
1. B
根据算术平方根的定义解答即可.
解: ∵ 正方形的面积为 9,
∴ 其边长 =9 .
故选: B.
2. C
根据被开方数大于等于 0 列不等式计算即可得到 x 的取值范围,然后在数轴上表示即可得解.
解: 根据题意得, 1−x≥0 ,
解得 x≤1 ,
在数轴上表示如下:

故选: C.
3. D
本题考查了解一元二次方程–公式法, 能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键. 利用公式法即可求解.
解: ∵3x2−11x−1=0 ,
∴a=3,b=−11,c=−1 ,
∴Δ=−112−4×3×−1=133>0 ,
∴x=11±1332×3=11±1336 ,
∵ 一元二次方程 3x2−11x−1=0 的两个根为 a,b ,且 a>b ,
∴a 的值为 11+1336 ,
故选: D.
4. B
根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断.
A、了解一批节能灯管的使用寿命, 具有破坏性, 适合采用抽样调查, 不符合题意;
B、了解某校 803 班学生的视力情况，适合采用普查，符合题意；
C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合采用抽样调查，不合题意；
D、了解京杭大运河中鱼的种类，适合采用抽样调查，不合题意.
故选: B.
5. B
本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则, 解题的关键是正确掌握运算法则进行判断. 由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则, 分别进行判断, 即可得到答案.
解: ① −5++3=−2 ; 故①计算错误;
② −−23=8 ；故②计算错误；
③ −56+−16=−1 ；故③计算错误；
④ −3÷−13=−3×−3=9 ; 故④计算正确；
综上所述: 计算正确的是④, 共 1 个,
故选: B.
6. B
观察可知, 图形的主视图分 3 列, 第 1 列有 3 个小正方形, 第 2 列有 2 个小正方形, 第 3 列有 1 个小正方形, 进行判断即可.
解: 观察可知, 图形的主视图分 3 列, 第 1 列有 3 个小正方形, 第 2 列有 2 个小正方形, 第 3 列有 1 个小正方形,
故当移走甲，丙，丁后，主视图不变，移走乙后，主视图的第 2 列变为 1 个小正方形，主视图发生变化.
7. A
根据方差的定义进行求解, 方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 每个数都加 3 , 所以波动不会变, 方差不变.
解: 当数据都加上一个数 (或减去一个数) 时, 平均数也加或减这个数, 设原平均数为 x ,现在的平均数为 x+3 ,
原来的方差 s12=1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2=2 ,
现在的方差 S22=1nx1+3−x−32+x2+3−x−32+…+xn+3−x−32 ,
=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2,
=2 .
故选: A.
8. C
本题考查了三角形的内切圆与内心, 勾股定理, 切线的性质, 解决本题的关键是掌握切线的性质. 设 △ABC 的内切圆切三边于点 F ， H ， G ，连接 OF 、 OH 、 OG 、 OA 、 OB、OC ,得四边形 OHCG 是正方形,由切线长定理可知 AF=AG ,根据 DE 是 ⊙O 的切线,可得 MD=DF,EM=EG ,根据勾股定理可得 AB=13 ,再求出内切圆的半径为 2, 进而可得 △ADE 的周长.
解: 如图,设 △ABC 的内切圆切三边于点 F、H、G ,连接 OF、OH、OG 、 OA、OB、OC ,
∴ 四边形 OHCG 是正方形,

由切线长定理可知 AF=AG ,
∵DE 是 ⊙O 的切线,
∴MD=DF,EM=EG ,
∵∠ACB=90∘,BC=5,AC=12 ,
∴AB=AC2+BC2=13 ，
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆,
设 ⊙O 的半径为 r ,
则 S△AOC+S△BOC+S△AOB=S△ABC ，
∴12AC⋅r+12AB⋅r+12BC⋅r=12AC⋅BC ,
∴12r+13r+5r=60 ,
∴r=2 ,
∴CG=2 ,
∴AG=AC−CG=12−2=10 ,
∴AF=AG=10 ,
∴△ADE 的周长为: AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=10+10=20 .
故选: C.
9. C
本题主要考查了矩形的性质、正方形的性质、反比例函数的应用等知识, 熟练掌握相关知识是解题关键. 设 CD=DE=EF=CF=aa>0 ,结合题意确定点 B、E 的坐标,进而确定 a 的值,即可获得答案.
解: 根据题题意,四边形 OABC 为矩形,四边形 CDEF 为正方形,且 BC=2CD,AB=3 , ∴OA⊥AB,BC⊥OC,EF⊥OF,OC=AB=3 ,
设 CD=DE=EF=CF=aa>0 ,
则 BC=2CD=2a,OF=OC+CF=3+a ,
∴B3,2a,E3+a,a ,
: 反比例函数 y=kxx>0 的图像过 B,E 两点,
∴k=3×2a=a3+a ,
解得 a=3 ,
∴k=3×2a=18 .
故选: C.
10. B
①看图象可以判断 y>0 的区间有两个; ②看图象可知当 x>−3 ,图象有最低点; ③ 将点 Pm,−m−1 转化为直线 y=−x−1 ，作图后计算直线与原函数图象的交点个数；④根据图象与 x 轴交点到原点的距离分析平移方向和距离.
解: 由图象可知,当 y>0 时, −3−3 时, y 有最小值,故②正确;
已知点 Pm,−m−1 ，
令 x=m,y=−m−1 ,
则 y=−x−1 ,即点 Pm,−m−1 在直线 y=−x−1 上,
如图，作 y=−x−1 的图象，

可知 y=−x−1 与原函数图象有 3 个交点，则符合要求的点 P 有 3 个，故③ 正确；
函数图象与 x 轴交于 −3,0,−1,0,3,0 ,则将函数 y 的图象向右平移 1 个或 3 个单位长度经过原点, 故④正确.
综上, 正确的结论有②③④.
11. −ax−y2##−ay−x2
本题主要考查了提公因式法以及完全平方公式. 熟练掌握以上知识点是解题的关键, 先提公因式, 然后用完全平方公式化简即可.
解: −ax2−ay2+2axy
=−ax2+y2−2xy
=−ax−y2
故答案为: −ax−y2
12. 105∘
本题主要考查了绝对值非负性, 特殊角的三角函数, 三角形的内角和定理等知识点, 熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键.
由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得 sinA−12=0,22−csB=0 ,进而可得 sinA=12,csB=22 ,由特殊角的三角函数可得 ∠A=30∘,∠B=45∘ ,由三角形的内角和定理可得 ∠C=180∘−∠A−∠B ,由此即可求出 ∠C 的度数.
解: ∵sinA−12+22−csB2=0 ,
∴sinA−12=0,22−csB=0 ,
∴sinA=12,csB=22 ,
∴∠A=30∘,∠B=45∘ ,
∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−30∘−45∘=105∘ ,
故答案为:105
13. 4
先解不等式组,确定 a 的取值范围 a≤6 ,再把分式方程去分母转化为整式方程, 解得 y=a−12 ,由分式方程有正整数解,确定出 a 的值,相加即可得到答案.
解: x+32≤4①2x−a≥2②
解不等式①得: x≤5 ，
解不等式②得: x≥1+a2 ，
∴ 不等式的解集为 1+a2≤x≤5 ,
:不等式组至少有 2 个整数解，
∴1+a2≤4 ,
解得: a≤6 ;
: 关于 y 的分式方程 a−1y−2+42−y=2 有非负整数解,
∴a−1−4=2y−2
解得: y=a−12 ,
即 a−12≥0 且 a−12≠2 ,
解得: a≥1 且 a≠5
∴a 的取值范围是 1≤a≤6 ,且 a≠5
∴a 可以取: 1,3,
∴1+3=4 ,
故答案为: 4 .
14. 132
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点, 运用截长补短法构造全等三角形是关键.
在 DC 上截取 DF=BM ,得 △ABM 与 △ADF 全等; 再证明 △MAN 与 △FAN 全等,得 MN=NF ,设 MN=x ,用 x 表示 CN ,在 Rt △CMN 中由勾股定理列出 x 的方程便可求解. 解: 如图,在 DC 上截取 DF=BM ,连接 AF .

∵AB=AD,∠ABM=∠ADF=90∘ ,
∴△ABM≅φΔ△ADFSAS
∴∠MAB=∠​​F.∠MAB=∠FAD .
∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90∘ ,
即 ∠MAF=∠BAD=90∘ .
又 ∵∠MAN=45∘ ,
∴∠NAF=∠MAN=45∘ .
∵AN=AN ,
∴△MAN≅△FAN (SAS).
∴MN=FN ,
设 MN=FN=x ,
∵BM=DF=1,BC=CD=5 ,
∴DN=DF+FN=x+1,CM=5+1=6 ,
∴CN=DN−CD=x−4 ,
∵MC2+CN2=MN2 ,
∴62+x−42=x2 ,
解得, x=132 ,
∴MN=132 ,
故答案为: 132 .
15. 28
本题主要考查点与圆的位置关系, 解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AB 取得最大值时点 P 的位置. 连接 OP ，由 Rt △APB 中 AB=2OP 知若要使 AB 取最大值，则 OP 需取最大值，连接 OM ，交 ⊙M 于点 P′ ，当点 P 位于点 P′ 时， OP 取得最小值,当点 P 在 OP′ 的延长线与 ⊙M 的交点上时, OP 取最大值,据此可得出 AB 取最大值时点 P 的位置,求解可得结果.
解: 连接 OP ,

∵PA⊥PB ,
∴∠APB=90∘ ,
∵ 点 A 、点 B 关于原点 O 对称,
∴OA=OB ,即点 O 为 AB 中点，
∴AB=2OP ，
若要使 AB 取最大值，则 OP 需取最大值，
连接 OM ,交 ⊙M 于点 P′ ,
当点 P 位于点 P′ 时, OP 取得最小值,
过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q ,圆心 M 的坐标为 6,8 ,
则 OQ=6、MQ=8 ,
∴OM=OQ2+MQ2=10 ,
又 ∵MP′=4 ,
∴OP′=6 ,
∴ 当点 P 在 OP′ 的延长线与 ⊙M 的交点上时, OP 取最大值,
∴OP 的最大值为 6+4×2=14 ,
∴AB 的最大值为 2×14=28 .
故答案为: 28 .
16. (1)2 ; (2) x2+x−2 ，4
本题考查了实数的混合运算, 分式化简求值.
(1)根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解；
(2)先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解.
解: (1) −13×9+π0
=13×3+1
=1+1
=2 ;
(2) x2−11x+1+1
=x+1x−11x+1+x+1x+1
=x+1x−1⋅x+2x+1
=x+2x−1
=x2+x−2 ;
当 x=2 时,原式 =22+2−2=4 .
17.
(1) 以 D 为圆心， DC 为半径画弧，以 B 为圆心， BC 为半径画弧，两弧交于点 E ， 连接 DE , BE 即可;
(2)如图,证明 AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC,∠A=90∘ ,可得
∠ADB=∠CBD ,证明 FB=FD ,设 AF=x ,则 DF=2−x ,可得 12+x2=2−x2 ,再解方程即可.
( 1 )解:如图， △BED 即为所求作的三角形；

由作图可得: DE=DC ， BE=BC ， BD=BD ，
∴△BCD≅△BED ，
∴△BED 即为所求作的三角形;
(2)解:如图， ∵ 矩形 ABCD ，
∴AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC,∠A=90∘ ，
∴∠ADB=∠CBD ,

∵∠EBD=∠CBD ,
∴∠FBD=∠FDB ,
∴FB=FD ,
设 AF=x ,则 DF=2−x ,
∴12+x2=2−x2 ,
解得: x=34 ;
∴AF=34 .
18. (1)8, 3, 40%
(2)C
(3)8.5 万元
(4)220 户
(1)用 B 组户数除以所占的百分比，求出总户数，用总户数乘以 D 组所占的比例求出 b 的值,再用总户数减去其它组的户数,求出 a 的值,用 a 的值除以总户数求出 m 即可;
(2)根据中位数的定义进行判断即可;
(3)根据平均数的计算公式进行计算即可;
(4)用样本估计总体的思想进行求解即可.
(1) 解: 5÷25%=20,b=20×15%=3 ;
a=20−4−5−3=8;
m=820×100%=40%;
(2)解:将数据排序后第 10 个和第 11 个数据所在的组即为中位数所在的组，
∵4+5=9 ,
∴ 第 10 个和第 11 个数据均在 C 组,
∴ 中位数落在 C 组;
(3)解: 7×4+8.3×5+9×8+9.5×320=8.5 (万元)；
答: 所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为 8.5 万元;
(4)解: 400×40%+15%=220 (户)；
答: 估计去年下半年甲村 400 户家庭中收入不低于 8.5 万元的户数为 220 户.
19. (1)该连衣裙 MN 的长度为 14 分米
(2)该连衣裙下端 N 点到地面水平线 l 的距离约为 2 分米
本题主要考查了解直角三角形的实际应用, 勾股定理等知识点, 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
(1)利用勾股定理求出 AG 的长，进而求出的 BG 长，再证明四边形 MNBG 是矩形，得到 MN=BG ,即可得到答案;
(2)过 M 作 MK⊥AB 于 K ，先求出 AK=3.12 ，再求出 BK=15.88 ，进而即可得到答案.
(1)解:由题可知:在 Rt△AGM 中， AM=13 分米， MG=12 分米， AG⊥GM ，
∴AG=132−122=5 (分米),
∵AB=19 分米,
∴BG=AB−AG=19−5=14 (分米)，
∵AG⊥GM,MN⊥l ， AB 和 CD 分别垂直地面水平线 l ，
∴∠BGM=∠ABN=∠MNB=90∘ ,
∴ 四边形 MNBG 是矩形,
∴MN=BG=14 (分米),
. 该连衣裙 MN 的长度为 14 分米;
(2)
解: 如图 2,过 M 作 MK⊥AB 于 K ,

图2
∵ 在 Rt△AKM 中， AM=13 分米， ∠BAM=76.1∘ ， AK⊥KM ，
∴AK=AM⋅cs76.1∘≈13×0.24=3.12 (分米)，
∵AB=19 分米,
∴BK=AB−AK=19−3.12=15.88 (分米)，
∴BK−MN=15.88−14=1.88≈2 (分米)，
∴ 该连衣裙下端 N 点到地面水平线 l 的距离约为 2 分米.
20. (1)每杯“满杯杨梅”的售价是 17 元，每杯“芝士杨梅”的售价是 19 元
(2)每杯“满杯杨梅”的成本是 9 元，每杯“芝士杨梅”的成本是 9 元
本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用. 熟练掌握一元一次方程的应用， 分式方程的应用是解题的关键.
任务 1: 设每杯“满杯杨梅”的售价是 x 元,则每杯“芝士杨梅”的售价是 x+2 元,依题意得, x+2+2x=53 ,计算求解,然后作答即可;
任务 2: 方法一: 设“芝士杨梅”卖 a 杯,则“满杯杨梅”卖 a+20 杯,依题意得,
400a=54⋅480a+20 ,可求 a=40 ,根据“芝士杨梅”成本为 19−400÷40 ,“满杯杨梅”成本为 17−480÷40+20 ,计算求解即可; 方法二: 设每杯“满杯杨梅”的利润是 y 元,则每杯“芝士杨梅”的利润是 54y 元,由题意得: 480y−40054y=20 ,可求 y=8 ,然后计算求解即可.
任务 1: 解: 设每杯“满杯杨梅”的售价是 x 元,则每杯“芝士杨梅”的售价是 x+2 元,
依题意得, x+2+2x=53 ,
解得: x=17 ,
∴x+2=19 ,
答: 每杯“满杯杨梅”的售价是 17 元, 每杯“芝士杨梅”的售价是 19 元;
任务 2:
方法一:解:设“芝士杨梅”卖 a 杯，则“满杯杨梅”卖 a+20 杯，
依题意得， 400a=54⋅480a+20 ，
解得 a=40 ,
经检验, a=40 是原分式方程的解,且满足题意,
∴ “芝士杨梅”成本为 19−400÷40=9 (元/杯)，“满杯杨梅”成本为 17−480÷40+20=9 (元 /杯)
答:“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为 9 元/杯;
方法二: 设每杯“满杯杨梅”的利润是 y 元,则每杯“芝士杨梅”的利润是 54y 元,
由题意得: 480y−40054y=20 ，
解得: y=8 ，
经检验: y=8 是原方程的解,且满足题意;
∴17−8=9,19−8×54=9 ,
答: 每杯“满杯杨梅”的成本是 9 元, 每杯“芝士杨梅”的成本是 9 元.
21.
(1) 连接 OC ,由 CD⊥AB ,得出 ∠CFB=90∘ ,得出 ∠FCB+∠CBF=90∘ . 再由 CB 平
分 ∠DCE ,可得 ∠FCB=∠ECB . 由等腰三角形的判定得出 OC=OB ,再证明 OC⊥CE ,即可得证;
(2)延长 CO 与 AG 交于点 H ，先证明 ∠CAB=∠BCF . 可得 tan∠CAB=tan∠BCF=12 . 从而得出 CFAF=FBCF=12 . 设 CF 为 2a ,则 AF=4a,FB=a,AB=5a . 由勾股定理得 BG=AB2−AG2=3a . 再求解即可.
( 1 )解:连接 OC .

∴∠CFB=90∘ ,
∴∠FCB+∠CBF=90∘ .
∵CB 平分 ∠DCE ，
∴∠FCB=∠ECB .
∵OC=OB ,
∴∠OCB=∠OBC .
∴∠OCB+∠ECB=90∘ .
∴OC⊥CE .
∴CE 为 ⊙O 的切线;
(2)解: ∵C,G 为 ⊙O 上的两点， AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘ .
∵CD⊥AB ,
∴∠CFB=90∘ .
∴∠CAB=∠BCF .
∴tan∠CAB=tan∠BCF=12 .
∴CFAF=FBCF=12 .
∵AB 为 ⊙O 的直径,
∴∠G=90∘ ,
∵CE∥AG ,
∴∠E=∠G=90∘ ,
∵∠BFC=∠E=90∘,∠FCB=∠ECB,BC=BC ,
∴△BFC≅△BECAAS ,
∴CF=CE ,
延长 CO 与 AG 交于点 H ,
设 CF 为 2a ,则 AF=4a,FB=a ,
∴AB=5a .
由(1)得 CF=CE=2a ，
∵∠G=∠E=∠OCE=90∘ ,
∴ 四边形 CEGH 为矩形,
∵CH⊥AG ,
∴AH=HG ,
∴CE=HG=AH .
∴AG=4a .
在 Rt △AGB 中,
∵AG=4a,AB=5a ,
∴BG=AB2−AG2=3a .
∴AGGB=43 .
22.
问题解决①: 根据等边对等角,三角形内角和定理,可证 ∠DAC=∠ACB ,进而可得 AD//BC ；②证明 △DAC∽△ACB ，根据对应边成比例可得 △DAC∽△ACB ，进而可得 AC2=AD⋅BC;
方法应用①:由旋转的性质得 AB=AD ， DE=BC ， AE=AC ，令 ∠B=α ，则
∠ADB=α,∠BAD=180∘−2α ,再证 ∠E=180∘−2α ,推出 ∠E=∠BAD ,即可证明四边形 ABDE 是双等四边形.
②作 AH⊥BC 于点 H ，解 Rt△AHC 和 Rt △AHB 求出 AC ，分三种情况:
∠B=∠D=∠CAD,CA=CD 时; ∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC 时; ∠ACB=∠D,AD=CD 时, 分别求解即可.
解: 问题解决①
∵AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC ,
∴∠ACB=12180∘−∠BAC,∠DAC=12180∘−∠D ,
∴∠DAC=∠ACB ,
∴AD//BC ；
② ∵∠DAC=∠ACB ， ∠D=∠BAC ，
∴△DAC∽△ACB ,
∴ACCB=DAAC,
∴AC2=AD⋅BC ;
故答案为:①平行；② = ；
方法应用①:
证明: ∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转至 △ADE ，
∴AB=AD ,
令 ∠B=α ,则 ∠ADB=α,∠BAD=180∘−2α ,
∴∠ADE=∠B=α ,
由旋转得, DE=BC,AE=AC ,
又 ∵BC=AC ,
∴EA=ED ,
∴∠ADE=∠EAD=α ,
∴∠E=180∘−2α ,
∴∠E=∠BAD ,
∴ 四边形 ABDE 是双等四边形.
② AC 的长度为 256,CD 的长度为 256 或 73 或 12536 .
作 AH⊥BC 于点 H ,

∵csB=35,AB=5 ,
∴BH=AB⋅csB=5×35=3 ,
∴AH=AB2−BH2=52−32=4 ，
设 CH=x ,则 AC=BC=3+x ,
在 Rt △AHC 中, CH2+AH2=AC2 ,即 x2+42=x+32 ,
解得 x=76 ,
∴CH=76,AC=BC=256 ,
四边形 ABCD 是以 △ABC 为伴随三角形的双等四边形时，分以下三种情况: 当 ∠B=∠D=∠CAD,CA=CD 时,如图:

则 CD=AC=256 ;
当 ∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC 时,如图,作 AM⊥CD 于点 M ,

∴CMAC=cs∠ACM=cs∠ACB=CHAC=76256=725 ,
∴CM=725AC=725×256=76 ,
∴CD=2CM=73 ;
当 ∠ACB=∠D,AD=CD 时,如图,

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC ,
∴△DAC∽△CAB ,
∴CDBC=ACAB ,即 CD256=2565 ,
∴CD=12536 ,
综上可知, AC 的长度为 256,CD 的长度为 256 或 73 或 12536 .
23.
(1) ① 当 a=1,b≠0 时,二次函数 y=ax2+bx+b2−4b4 的解析式为 y=x2+bx+b2−4b4 ,可以求出二次函数的顶点坐标为 −b2,−b ,因为二次函数的顶点恰好在直线 y1=kx 上,可得: −b=−b2×k ,从而求出 k 的值;
② 将 k=2 带入 y1=kx ，可得: y1=2x ，因为二次函数与直线 y1 有两个交点，所以方程 4x2+4b−8x+b2−4b=0 有两个不相等的实数根,根据一元二次方程根与系数的关系可得, x1+x2=2−b; x1x2=b2−4b4 ,再利用 x1−x2=x1+x22−4x1x2 计算求值即可;
(2)①根据点 C 在二次函数和 y2 上，可得: ba+1a=1a+ba+b2−4bb ，解方程求出 b 的值即可；
② 首先根据 a 的取值范围求出不同情况时抛物线的对称轴,再根据 1≤x≤3 与抛物线的对称轴所在的位置之间的关系, 利用二次函数的图象与性质分分情况求解.
(1) 解: ① 当 a=1,b≠0 时,
二次函数 y=ax2+bx+b2−4b4 的解析式为 y=x2+bx+b2−4b4 ,
当 x=−b2a=−b2 时, y=b24−b22+b2−4b4=−4b4=−b ,
∴ 二次函数的顶点坐标为 −b2,−b ,
又 ∵ 二次函数的顶点恰好在直线 y1=kx 上,
∴−b=−b2×k ,
解得: k=2 ,
故答案为: 2 ;
② 将 k=2 带入 y1=kx ，
可得: y1=2x ,
又 ∵y=x2+bx+b2−4b4 ,
可得: x2+bx+b2−4b4=2x ,
整理得: 4x2+4b−8x+b2−4b=0 ,
∴Δ=4b−82−4×4b2−4b=64>0 ,
∴ 二次函数与 y1 恒有两个交点,
∴x1+x2=2−b; x1x2=b2−4b4 ,
∴x1−x2=x1+x22−4x1x2=4=2 ,
∴x1−x2=2 ;
(2)解:① ∵C 在二次函数和 y2 上，
∴ba+1a=p,1a+ba+b2−4bb=p,
可得: ba+1a=1a+ba+b2−4bb ,
解得: b=0 或 b=4 ,
∵b>0 ,
∴b=4 ,
∴b=4 ;
② 由 ① 知 b=4 ，
∴ 二次函数的解析式为 y=ax2+4x ,
∴ 抛物线的对称轴 x=−42a=−2a ,
当 a>0 时,二次函数开口向上,
如下图所示:

∴ 对称轴 x=−2a−23 ,
∴−23