山东省青岛市市南区青岛第三十九中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

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山东省青岛市市南区青岛第三十九中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）A． B． C． D．2．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（　　）A．逐渐变短 B．逐渐变长C．先变短后变长 D．先变长后变短3．将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（   ）A． B． C． D．4．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（  ）A． B． C． D．5．已知点，，在下列某个函数图像上，且，这个函数可能是（    ）A． B． C． D．6．如图，平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F,当AB=6,BC=8时，的值为(    )A．3:4 B．4:3 C．3:7 D．3:147．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ）A． B． C． D．8．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．无法确定二、解答题9．计算：．10．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段，直线及外一点A．求作：矩形，使边在直线上，对角线．11．解方程：(1)；(2)．12．小莉的爸爸买了去看世界杯的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则公平吗？请说明理由．13．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为2m.在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，所以影子没有全落在地面上，而是有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为20m，落在墙上的影高为2m，求旗杆的高度.14．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若为负整数，方程的两个根都是整数，直接写出的值______．15．数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点A的仰角为22°，再向前至点，又测得最高点A的仰角为58°，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为多少？（精确到．参考数据：，，，）16．阅读理解对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，，…试解决下列问题：(1)______（为圆周率）；(2)如果，则实数的取值范围为______；(3)设为常数，且为正整数，函数的自变量在范围内取值时，函数值为整数的个数记为，则与的关系是______．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)过点作直线∥轴，过点作直线于，点是直线上一动点，若 ，求点的坐标．18．在中，，，将绕点顺时针旋转角（），得，交于点，分别交、于、两点．(1)求证：；(2)当时，试判断四边形的形状，并说明理由；19．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条90元时，每月可销售50条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（售价不低于40元），每月的销售量为条．(1)直接写出与的函数关系式；(2)该网店每月获得的利润为元，当销售单价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主为了保证捐款后每月利润4420元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？20．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是上一点，且．点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为；交于，交于，连接，，设运动时间为（）．(1)当为何值时，？(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻，使得点在的角平分线上？若存在，求出此刻的值；若不存在，请说明理由．三、填空题21．已知某公司前年缴税8万元，今年缴税比前年增加了10万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率．设该公司这两年缴税的年平均增长率为，根据题意，可列方程为______．22．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为_______cm（结果保留根号）23．抛物线中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是________________．①抛物线与x轴的一个交点为；②抛物线与y轴的交点为；③抛物线的对称轴是：；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．24．如图，在菱形中，与，将沿所在直线翻折得，若，，则与菱形重叠部分（阴影部分）的面积为__．25．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．x…01…y…0…参考答案1．B【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方看直接得出结果．【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴面积比为=4：9．故选B．【点睛】考查了相似三角形的性质,解题关键是运用了相似三角形面积的比等于相似比的平方.2．A【分析】由题意易得，小亮离光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点．【详解】小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，故选：A．【点睛】本题主要考查了投影的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.3．B【分析】根据三视图的方法判断即可；【详解】根据三视图的判断可得到俯视图如图所示：故答案选B．【点睛】本题主要考查了三视图的应用，准确分析判断是解题的关键．4．A【分析】设位似比例为k，先根据周长之比求出k的值，再根据点B的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则和的周长之比为，即解得又点B的坐标为点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为点位于第四象限点的坐标为故选：A．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．5．B【分析】把点，，代入各函数，求出、、的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A．把点，，代入，解得，，，所以，这与已知条件不符，故选项不符合题意；B．把点，，代入，解得，，，所以，这与已知条件相符，故符合题意；C． 把点，，代入，解得，，，所以，这与已知条件不符，故不符合题意；D． 把点，，代入，解得，，，所以，这与已知条件不相符，故选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是正确的求解各函数的函数值．6．C【分析】由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF，再证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠AFB，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，∵AB=6，∴AF=6，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴ ===∴=.故选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．7．C【分析】连接．利用格点和勾股定理求出，，，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用正切的定义即可求出的值．【详解】解：如图，连接．，，，，是直角三角形，，，，，故选C．【点睛】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．8．C【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．【详解】解：方案1，设米，则米，则菜园的面积，当时，菜园面积取最大值，最大面积为8平方米；方案2，作交于点D， 则菜园的面积，当时，菜园面积取最大值，最大面积平方米；方案3，半圆的半径，此时菜园面积平方米平方米，故选C．【点睛】本题主要考查同周长的几何图形的面积问题，解题的关键是分别求出三个方案中面积的最大值．9．6【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．10．见解析【分析】根据垂直平分线的作法及矩形的判定作图即可．【详解】解：①以点A为圆心，线段c为半径画弧交直线l于点C和，即；②作线段的垂直平分线交于点B；③分别以点C和为圆心，长为半径向上画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，分别交于点D和，；④连接，；如图所示：矩形与矩形即为所求．【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键．11．(1)，(2)，【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，然后用分解因式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，，，，，∴，即，；（2）解：，移项得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练解一元二次方程的一般方法，准确进行计算．12．哥哥设计的游戏规则不公平，理由见解析【分析】结合题意，根据列表法求概率，即可得到答案．【详解】解：列表如下：∴共有16种等可能的结果，其中和为偶数的有6种，和为奇数的有10种，∴小莉去的概率，哥哥去的概率为，∵，∴哥哥设计的游戏规则不公平．【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率的性质，从而完成求解．13．12m【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD=CE=20，CD=BE=2，设AE=x，则1：2=x：20，求出x即可解决问题．【详解】解：如图，过点C作，垂足为E，连接AC.∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°，∴四边形CDBE为矩形，设米， .由题意知，即.解得.∴旗杆的高度为：米答：旗杆的高度为12m.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．(1)(2)【分析】（1）利用根的判别式求解；（2）根据（1）中结论及为负整数，可知或，分别代入原方程，求出方程的根，再根据两个根都是整数对值进行取舍即可．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，．（2）解：，为负整数，或，当时，，，解得，，两个根不是整数，不合题意；当时，，即，解得，，两个根都是整数，符合题意；故，故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．15．37.3 m【分析】在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形可求出．【详解】解：在中，，∴，在中，，，∴，解得：m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．16．(1)3(2)(3)【分析】（1）根据的取值及“四舍五入”即可求解；（2）根据题意列出不等式求解即可；（3）将二次函数化为顶点式，然后得出y随x的增大而增大，再由题意得出y的取值，即可得出结果．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：3；（2）∵，∴，解得：，故答案为：；（3）函数，为常数，且为正整数，当时，y随x的增大而增大，∴即，∴，∵y为整数，∴，，…共有个值，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查近似数的化简，不等式的应用及一元二次方程的性质，理解题意，得出相应的不等式及综合运用二次函数的基本性质是解题关键．17．(1)y＝，y＝﹣x＋1；(2)（2，8）或（2，﹣4）【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入求出n的值，即可得到反比例函数的解析式，把B（m，﹣1）代入求得的反比例函数的解析式得到m的值，把A、B两点的坐标代入一次函数，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；（2）根据已知条件确定AD的长及点D的坐标，由DC＝2AD得到DC＝6，从而求得点C的坐标．【详解】（1）解：把点A（﹣1，2）代入得，2＝，解得n＝﹣2，∴反比例函数的解析式是y＝，把B（m，﹣1）代入y＝得，﹣1＝，解得m＝2，∴ 点B的坐标是（2，﹣1），把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入得，，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x＋1；（2）解：∵直线ly轴，AD⊥l，点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，﹣1），∴ 点D的坐标是（2，2），∴ AD＝2－（﹣1）＝3，∵ DC＝2DA，∴ DC＝6，设点C的坐标为（2，m），则｜m－2｜＝6，∴ m－2＝6或m－2＝﹣6，解得m＝8或﹣4，∴ 点C的坐标是（2，8）或（2，﹣4）【点睛】此题是一次函数与反比例函数综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合思想的应用是解答此题的关键．18．(1)证明见解析(2)四边形是菱形，证明见解析【分析】（1）利用旋转不变性证得即可证得两条线段，再结合线段的和差可得结论； （2）利用邻边相等的平行四边形是菱形来判定即可；【详解】（1）证明：∵，， ∴， 结合旋转可知：，，， 在与中，． ∴． ∴；∴，∴．（2）四边形是菱形． 理由如下：∵，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形；【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形与菱形的判定，解决此类问题的关键是利用好旋转不变量．19．(1)(2)当销售单价70元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元(3)当销售单价定为66元，既符合店主的要求，又让消费者得到最大的实惠【分析】（1）直接利用“销售单价每降1元，则每月可多销售5条”得出与的函数关系式；（2）总利润销量每件利润，由此可得出函数关系式，再将函数关系式化为顶点式即可求出最值；（3）解不等式即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得，，与的函数关系式为；（2）解：，，有最大值，当时，，即当销售单价70元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）解：由题意得：，整理得，如图：解得：，当时，能保证捐款后每月利润4420元，而为了让顾客得到最大实惠，故，当销售单价定为66元时，即保证捐款后每月利润4420元，且让消费者得到最大的实惠．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立函数模型，正确得出与之间的函数关系式．20．(1)(2)(3)当时，在的角平分线上．【分析】（1）由证明，再利用相似三角形的性质可得答案；（2）由，可得，可得：，四边形的面积，从而可得答案；（3）如图，延长，交于点，过作于，作于，证明四边形为平行四边形，，，，可得，证明，由，建立方程，再解方程即可．【详解】（1）解：∵矩形中， ，，∴，，∵，∴，∴，∵， ，，，∴，解得：．（2）∵，∴，∴，解得：，∴，而四边形的面积，∴ ．（3）∵，，，∴，如图，延长，交于点，过作于，作于，由，，∴四边形为平行四边形，，∴，，∴，∴，∴，∵平分，，，∴，而，，∴，整理得：，设，则，即，∴，∴，∴，即，画二次函数与函数的简易图象如下：根据函数图象可得：，∴，解得：，∴当时，在的角平分线上．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数与反比例函数的应用，本题难度大，对学生要求高，特别是第三问利用数形结合的方法解题是关键．21．【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，表示今年的纳税额为万元，再根据今年的纳税额为18万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x， 根据题意，可列方程：． 故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．##【分析】由P为AB的黄金分割点（AP＞PB），可得 先求解 再利用线段的和差求解即可.【详解】解： P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， 故答案为：【点睛】本题考查的是成比例的线段，黄金分割的含义，掌握“线段的黄金分割比”是解本题的关键.23．2【分析】根据二次函数的性质一一进行判断即可．【详解】解∶③点在抛物线）上，抛物线的对称轴为直线， 结论③错误；①抛物线的对称轴为直线当和时值相同，抛物线与轴的一个交点为，结论①正确；②点在抛物线上，抛物线与轴的交点为，结论②正确；④，抛物线的对称轴为直线，在对称轴左侧，随增大而减小， 结论④错误．故正确的有①②，共2个故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，找出二次函数的对称轴是解本题的关键．24．【分析】先证是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出的面积，再利用折叠的性质和菱形的性质证明是等腰直角三角形，则重叠部分的面积．【详解】解：，，，是等腰直角三角形，，．由折叠的性质可知，，即．菱形中，，，，，，即是等腰直角三角形．，，，．，，重叠部分的面积．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等、对应角相等．25．【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值为．故答案为：【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．123545679678911789101289101113