山东省聊城市东昌教育集团四校联考2024-2025学年上学期12月月考九年级 数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市东昌教育集团四校联考2024-2025学年上学期12月月考九年级 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．或
2．如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．0D．9
4．如图，是的切线，点是切点，CD分别交于两点，若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方形中，，点为AD上一点，连接CE交BD于点，延长CE交的延长线于点，若，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
8．抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的( )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
10．如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，AB分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
二、填空题（本大题共6小题）
11．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ．
12．如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ．
13．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．

14．如图，在中，，．动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时与相似．
15．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；
③m的值为④图象不经过第三象限．
上述结论中正确的有 （填正确的序号）
16．已知二次函数，当自变量时，则y的取值范围为 .
三、解答题（本大题共8小题）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取任何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为，若，求的值．
19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
20．如图，在中，，平分交于点，点在上，．
(1)求证：是的外接圆的切线；
(2)若，，求的长．
21．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
(1)求入射角的度数．
(2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，）
22．阅读以下信息，探索完成任务．
23．一次函数与反比例函数为交于点．
(1)分别求两个函数的解析式；
(2)根据图象直接写出，当时，x的取值范围
(3)在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标．
24．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)若点为该拋物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标．
参考答案
1．【答案】B
【分析】由题意可得且，据此即可求解
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故此题答案为．
2．【答案】C
【详解】解：如图，连接BD，
由网格得，，，，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
故此题答案为．
3．【答案】A
【分析】由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，即
由根与系数的关系得：，
∴，
故此题答案为A．
4．【答案】A
【分析】根据切线性质和切线长定理可得，，， 进而可得，，即得，，得到，再利用四边形的内角和求出即可求解
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，点是切点，
∴，，，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故此题答案为．
5．【答案】B
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为x=1，开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远，对应的函数值越大，
∵，
∴，
故此题答案为．
6．【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故此题答案为．
7．【答案】D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故此题答案为D．
8．【答案】B
【详解】解：∵，
∴抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是，
故此题答案为．
9．【答案】C
【分析】三角形外接圆的圆心是中垂线的交点；三角形内切圆的圆心是角平分线的交点；据此判断即可．
【详解】∵圆O是△DEF的外接圆，
∴点O是三边的垂直平分线的交点，
故此题答案为C．
10．【答案】D
【分析】由反比例函数k的几何意义得到与面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得到与面积之比，设面积为x，列出关于x的方程，进而即可得解
【详解】如图，连接，过点C作轴，

∵轴，
∴，
∵，，
∴，
设面积为，根据反比例函数k的意义得到面积为，
∵，
∴与面积之比为，
∵的面积为，，
∴的面积为，
∴面积为，即的面积为，
解得，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为D．
11．【答案】
【分析】由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解
【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，
∴，，
∴四边形的面积为
12．【答案】/
【分析】注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积．
连接，，求出的度数都是，求出，，得，根据等底、等高的三角形的面积相等得出和的面积相等，求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：连接，，
∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点，是的直径，
的度数都是，
，
，
是等边三角形，
，
，
和的面积相等，
即阴影部分的面积=扇形的面积，
，，
，
13．【答案】
【详解】作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．

此时最小，且等于的长．
连接，，
，
，
∵为的中点，
∴
，
，
，
，
则，又，
则．
14．【答案】或
【分析】设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：
15．【答案】
【分析】利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解∶由表格可知，抛物线的对称轴是直线，故②正确；
抛物线的顶点坐标是，有最小值， 故抛物线的开口向上，故①错误；
当时，或，故的值为，故③正确；
抛物线的顶点坐标是在第三象限，故④错误．
16．【答案】
【分析】根据二次函数，，画出函数图象，即可求解.
【详解】根据根据二次函数，，画出函数图象，
可知：当，
当，即y的取值范围为.
17．【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）采用因式分解法求解即可；
（2）采用公式法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解，得，
于是，得，或，
∴，；
（2）解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，．
18．【答案】(1)见解析
(2)的值为2或
【分析】（1）用m表示出根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式，即可解决问题．
【详解】（1）证明：
∵
，
∴无论取任何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴．
∴．
即，
解得或，
∴的值为2或．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）4.9
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE－AD=4.9．
20．【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）取的中点，连接，由，根据圆周角定理可得为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心，再证明，根据平行线的性质得到，于是可根据切线的判定定理判断即可求解．
（2）设的半径为，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理来求解．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图，
，
，
为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心．
平分，
．
，
，
，
，
，
，
是的外接圆的切线．
（2）解：设的外接圆的半径为
在中，
，
即，
解得．
，
，
即，
．
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解；
（）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解
【详解】（1）解：如图，设法线为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴入射角约为；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
22．【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该手工作品应定价为50元
【分析】（1）设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x，根据题意，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设该手工作品的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合题意，即可确定结论．
【详解】解：（1）设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x，
由题意得，
解得或（舍去）．
答：手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为；
（2）设该手工作品应该定价为m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
∵要尽可能让更多的人能够献出爱心，
∴．
答：该手工作品应该定价为50元．
23．【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可；
（3）分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解：（1）将，代，得，
反比例函数的解析式为，
将代入，得，
，
将A，B两点坐标代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为，
∴两个函数的解析式分别为，；
（2）解：根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：或；
（3）解：当P在x轴上时，
设，
的面积为6，
，
，
点坐标为或，
当P在y轴上时，
设，
的面积为6，
，
，
点坐标为或，
综上所述，P点的坐标为或或或．
24．【答案】(1)
(2)点的坐标为或或
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由抛物线解析式可得，即得，设点是纵坐标为，可得，求出的值，再代入抛物线解析式求出点的横坐标即可求解；
（）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=−1，连接交对称轴于点，由点关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解
【详解】（1）解：把、代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点是纵坐标为，则，
∵，
∴，
解得，
当点是纵坐标为时，，
解得，
∴；
当点是纵坐标为时，，
解得，，
∴或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
连接交对称轴于点，
∵点关于对称轴对称，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当x=−1时，，
∴．
x
…
0
1
…
y
…
2
m
2
…
凤凰快讯1
“乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，随着同学们的技术变得娴熟，该手工作品9月份生产100个，11月份生产144个．
凤凰快讯2
该手工作品的生产成本为30元/个，义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率；
任务2
若该的月捐出善款（去除成本后）10000元，而且尽可能让更多的人能够献出爱心，请问该手工作品应该定价为多少元？