安徽省部分校联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省部分校联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列，则该数列的通项公式可以为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ）
A．2B．C．D．3
3．已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，若质点在这段时间内的平均速度等于时的瞬时速度，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知是双曲线的下顶点，直线与交于，两点，若存在，使得为等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（ ）
A．8B．13C．14D．15
8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．-2C．D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，是棱的中点，则（ ）
A．
B．
C．在平面内的投影向量的长度为
D．在上的投影向量为
11．已知实数满足，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．当时，的最小值为
三、填空题
12．在等比数列中，，，则________.
13．若函数的图象与直线相切，则________.
14．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右顶点分别为，，直线是的一条渐近线，将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，则翻折后线段的长度为________.
四、解答题
15．已知点和，圆以为直径.
(1)求圆的方程；
(2)已知圆，求圆与圆的公共弦长.
16．记数列的前项和为，已知.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
17．如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点.
(1)证明：；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的离心率为，，分别是的上、下顶点，且.
(1)求的方程．
(2)已知，是上异于，的两个不同的点．
（ⅰ）若，关于轴对称，证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）若直线经过点，证明：直线与的交点在定直线上.
19．已知是一个项数有限的数列，从中任意选出若干项，按原顺序组成数列，剩余的项按原顺序组成数列，和都至少有1项，所有项的和记为，所有项的和记为.
(1)若共有3项，，，，求的取值集合；
(2)若是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求的最小值；
(3)已知是首项为1，公差为1的等差数列，共有项，有项，求的最大值.（结果用表示）
参考答案
1．D
【详解】根据分母2,3,4,5,6，可知分母为，
观察数列各项，符号为正负交替，可表示为，
分子为，是项数的平方，即，
则数列的通项公式可以为.
2．C
【详解】点到轴的距离为.
3．D
【详解】由得，所以，
又得，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以.
4．A
【详解】因为点在圆上，
所以，解得，即圆C的方程为，
则圆心，所以直线CP的斜率，
则过点P与圆相切的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
5．B
【详解】由题意得：，
所以质点在这段时间内的平均速度为：，
又，所以，解得.
6．B
【详解】存在，为等边三角形，
则，
即过点，且斜率为的直线与双曲线上支有交点，
可设，
，，
解得或，
当时，，
即，故，解得，
,
则的离心率的取值范围为．
7．C
【详解】由题意得，，所以，
所以，又，所以，故数列是递增的等差数列，
所以，，因为，
所以，，
又，所以满足的的最小值为.
8．A
【详解】由题可知，
所以，
设，则，
根据反射规律可知：，所以，
所以，
所以，
整理并化简得，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以直线的斜率为
9．BD
【详解】对于A：若，则，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：若，则，故D正确.
10．BCD
【详解】以为空间向量的一组基底，根据题意，，.
对A：，故A错误；
对B：因为，
所以
，故B正确；
对C：取的中点，连接，则.
因为，
，
所以，，
又平面，，所以平面.
所以是平面的法向量，且.
又，
所以.
因为.
所以在上的投影为：，
在平面内的投影向量的长度为.故C正确；
对D：因为，且，
，
所以在上的投影向量为，故D正确.
11．ACD
【详解】对配方得，，
即点在以为圆心，1为半径的圆上.
选项A：设，即，
可得的最值对应直线与圆有交点时的截距最值，即圆心到直线的距离.
又，所以，即，
解得，故最小值为，选项A正确.
选项B：根据圆的位置（第一象限）可知，，，故，
表示圆上的点到原点的距离的平方，最值对应的点位于过原点与圆心的直线与圆的交点上.
故最小值为，选项B错误.
选项C：令（），则，
因此求的最小值等价于求的最大值，即求的最小值.
又表示圆上的点与原点连线的斜率，可设过原点的直线为，即.
又该直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，即，即，
整理得，解得.
当时，，，
即的最小值为，C选项正确.
选项D：表示圆上的点到点的距离，记为.
令（），点，即抛物线（）右半支上的点，
故原式可表示为圆上的点到抛物线上点的距离.
而表示到点的距离.
所以的最小值即为圆上的点到点的距离的最小值.
又圆心到点的距离，
所以圆上的点到点的距离的最小值为，选项D正确.
故选：ACD.
12．/0.5
【详解】设等比数列的公比为，
所以，所以，
所以，
所以.
13．2
【详解】根据导数的意义列方程组求解即可.
因为，所以.
设切点为，由题意知，，解得.
所以.
14．
【详解】如图：
因为，直线：，即，
过作，垂足为，则，
所以.
过作，垂足为，根据双曲线的对称性，可知，，
所以.
将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，如图：
则，
所以.
15．(1)；
(2).
【详解】（1）因为圆以为直径，则圆的方程为，
即.
（2）将两圆方程作差得，
，其圆心，
则圆心到直线的距离为，
则两圆的公共弦长为.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得：当时，，
当时，由有：，
所以，即，所以，
所以，
所以数列是以为公比，首项为的等比数列；
（2）由（1）有，
所以，
所以①，
②，
由①②有：
，
所以.
17．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：设中点为，连接，
，，
，，
，，
分别为中点，
，
，
又平面，
平面，又平面，
；
（2）由（1）知，
又，平面，
平面，
故以为原点建立如图空间直接坐标系，过作的平行线为轴，
则，，
设平面的一个法向量，
，不妨取，则，
设平面的一个法向量，
，不妨取，则，
设平面与平面夹角为，
，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1），，解得，
离心率，解得，
；
（2）（ⅰ）证明：设，则，，
即，又，
，
故直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）证明：由题可知直线斜率存在，
设直线方程为，，
，，
， ，，
直线的方程为，
则直线的方程为，
由①②两式解得
，
所以直线与的交点在定直线上．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设原数列总和为，则，因此，
由题意，都至少有1项，故可取所有非零且不等于6的和，
枚举得的所有可能值为，对应为，
故的取值集合为：.
（2）原数列，共2026项，总和，因此，
该数列的前2025项和为，末项，
若，则；
因 原数列所有项都是正偶数，必为偶数，不可能更小，故的最小值为.
（3）原数列，总和，，
代入化简： ，
是从中选项的和，最小值为，
最大值为，
分别代入得： ，
代入原式化简得最大值为，
故的最大值为.