第19章二次根式章末测试卷（提升卷）2025-2026学年人教版八年级下册数学含答案

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2026春季人教版新教材八年级下册数学 第19章二次根式 章末测试卷 满分：120 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 2．下列各式的计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式． 选项A中负数没有实数平方根；选项B完全平方公式应用错误；选项D化简错误；选项C计算正确． 【详解】解：选项A：和在实数范围内无意义，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 3．已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 4．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 5．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，绝对值非负性，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次根式性质转化等式，结合绝对值非负性，通过平方化简推导，判断选项正确性． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵绝对值具有非负性， ∴， 即， 对等式两边平方： ， ∴， ∴， ∴， 验证其他选项： 取，，满足， 此时， 故A错误； 取，，， 故B错误； 取，，， 故D错误， 故选：C． 7．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 8．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 9．使分式有意义的的取值范围在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件以及解集的数轴表示，根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组求出解集，根据数轴的解集表示方法判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：． 10．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 11．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴输出的值为2． 12．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 二、填空题（每题3分） 13．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 14．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 15．材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为______． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为______． 【答案】 / 【分析】本题考查了海伦公式与秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并进行根式运算． （1）用海伦公式，先计算半周长，再代入公式求面积； （2）用秦九韶公式，代入三边长度逐步化简计算面积． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：． （2）解：，，， ． 故答案为：． 16．已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小．通过有理化将和转化为分式形式，比较分母大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小． 三、解答题（共72分） 17．（9分）计算： (1) (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法分配律展开后，化简计算即可； （3）利用平方差公式计算前部分的乘积，再化简后部分的二次根式，最后相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（8分）小李在计算式子“”时发现“■”处的数印刷不清楚． (1)他把“■”处的数猜成2．请你计算：． (2)小李妈妈说：“你猜错了，这道题的标准答案是，”请你通过计算说明原题中“■”是几． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将取值为，逐步计算表达式的值； （2）设为，根据标准答案建立方程求解． 【详解】（1）解：原式                    （2）解：设为， 原式             解得： 因此是． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握运算法则． 19．（8分）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 20．（9分）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 21．（8分）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 22．（9分）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)16 (2) (3)32 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，二次根式的乘法，二次根式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先分别求出，，，再将待求式子变形后整体代入求值； （2）平方差公式分解因式，再整体代入求值； （3）将原式分组变形，用含，，的式子表示，再整体代入求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ． ∴ ． （2）解： ． （3）解： ． 23．（10分）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) 小莉的计算结果正确，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可； （3）利用（2）的化简方法化简计算即可． 【详解】（1）解：小莉的化简结果正确，理由如下： ∵ （2）解： （3）解： ． 24．（11分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)，， (2)36 (3)2025 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解： ； ； ∴ ； （3）解： ． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下：