湖南省岳阳市2026届高三下学期开学摸底检数学测试卷含解析（word版）

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分值：150分 时间：120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A. 120B. 60C. 24D. 36
3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（ ）
A. 68B. 63C. 35D. 48
5. 设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为两部分，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若直线与直线垂直，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
8. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ）
A. 该学生眼睛近视的概率为0.69
B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8
C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3
D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为
10. 辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（ ）
A. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥
B. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立
C “小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立
D. “小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立
11. 在中，边所对的角分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等比数列，若数列满足，则数列的前项和___________
13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______．
14. 常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，求BC边上的高的最大值．
16. 如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．
（1）证明：；
（2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．
17. 已知点，点在圆：上运动，线段的中点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线与曲线相切，求直线的方程.
18. 已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
（1）按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
（2）按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．
19. 已知函数.
（1）证明函数存唯一零点；
（2）的零点为，证明.