2022-2023学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x2−7x+10≤0}，B={x||x|≤5}，则A∩B=(    )
A. ⌀ B. [2,5] C. [3,5] D. [−5,5]
2. 已知i为虚数单位，z=3+i，则|zz−+i|=(    )
A. 103 B. 10 C. 13013 D. 130
3. 已知向量a，b满足(a+b)⋅b=2，且|b|=1，则向量a在向量b上的投影向量为(    )
A. 1 B. −1 C. b D. −b
4. 已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为(    )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
5. (1−1x3)(2x−1 x)6的展开式中，常数项为(    )
A. −300 B. −180 C. 180 D. 300
6. 已知 1−cosx+sinx1+cosx+sinx=−2，则tanx的值为(    )
A. 43 B. −43 C. 34 D. −34
7. 蹴鞠(如图所示)，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为 26，BD经过该鞠的中心，且AB=BC=1，AB⊥BC，则该鞠的表面积为(    )
A. 2π B. 16π C. 8π D. 4π
8. 已知a=0.16，b=e0.4−1，c=0.8−2ln1.4，则a，b，c的大小关系为(    )
A. a>c>b B. a>b>c C. b>a>c D. c>b>a
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cosBcosC=b2a−c，S△ABC=3 34，且b=3，则(    )
A. cosB=12 B. sinB= 32 C. a−c= 3 D. a+c=3 2
10. 已知a>0，b>0，且a+b=4则下列结论一定正确的有(    )
A. (a+2b)2≥8ab B. 1 a+1 b≥2 ab
C. ab有最大值4 D. 1a+4b有最小值9
11. 下列命题中，正确的是(    )
A. 已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X<2)=0.8
B. “a<11”是“∃x∈R，x2−2x+a<0”的充分不必要条件
C. 用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若E(X)=50，D(X)=30，则p=25
D. 一组数据x1，x2，…，x100的平均值为27，则x1+1，x2+1，…，x100+1的平均值为28
12. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，A，B为C上两个相异的动点，分别在点A，B处作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点P，则(    )
A. 若直线AB过焦点F，则点P一定在抛物线C的准线上
B. 若点P在直线x+y+4=0上，则直线AB过定点(4,−2)
C. 若直线AB过焦点F，则△ABP面积的最小值为1
D. 若|AB|=4，则△ABP面积的最大值为1
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 数据：2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是______ ．
14. 已知圆x2+y2−6x=0，过点(2,1)的直线被该圆所截的弦长的最小值为______ ．
15. 设数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=n2(1+n)，则k=1101akak+1= ______ ．
16. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，离心率为 32.点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E，则△BDE与△BDN的面积之比为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)= 3sin2x+2cos2x+m在区间[0,π2]上的最大值为6．
(1)求常数m的值；
(2)求使f(x)≥4成立的x的取值集合．
18. (本小题12.0分)
设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S5=25．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2n−1，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
19. (本小题12.0分)
如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．
(1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM//平面ADE；
(2)若∠BAD=60°，AB=2，直线CF与平面BCE所成角的正弦值为 1510，求BF的长．

20. (本小题12.0分)
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)
(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．
21. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a∈N)，四点P1(1,1)，P2(1,0)，P3( 2, 3)，P4( 2,− 3)中恰有三点在双曲线C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为−1.证明：l过定点．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ln(x+1)−axx+1(a∈R)．
(1)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)证明：∀n∈N*，(1−12 n2)(1−12 n2+1)…(1−12 4n2−1)<1en．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：集合A={x|x2−7x+10≤0}={x|2≤x≤5}，B={x||x|≤5}={x|−5≤x≤5}，
∴A∩B={x|2≤x≤5}．
故选：B．
先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：z=3+i，
则z−=3−i，
故|zz−+i|=|3+i3|=13 32+12= 103．
故选：A．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：因为|b|=1，(a+b)⋅b=a⋅b+b2=2，
所以a⋅b=1，
所以，向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=11⋅b1=b．
故选：C．
由已知可求得a⋅b=1，然后根据投影向量的公式，即可得出答案．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：因x+y−1=0的斜率为−1，
则f′(1)=1⇒f′(x)=ax+2x⇒f′(1)=a+2=1⇒a=−1．
故选：B．
由题可得f′(1)=1，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：(2x−1 x)6的展开式的通项为Tr+1=(−1)r26−r⋅C6rx6−rx−r2=(−1)r26−r⋅C6rx12−3r2．
当Tr+1=(−1)r26−r⋅C6rx12−3r2为常数时，12−3r2=0，解得r=4，
则T5=(−1)4×22×C64=60；
当−1x3Tr+1=−(−1)r26−r⋅C6rx6−3r2为常数时，6−3r2=0，解得r=2，
则−1x3T3=−(−1)2×24×C62=−240，
所以(1−1x3)(2x−1 x)6的展开式中常数项为60−240=−180．
故选：B．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．

6.【答案】A 
【解析】解：已知等式变形得：1−cosx+sinx=−2−2cosx−2sinx，即3sinx+3=−cosx，
两边平方得：(3sinx+3)2=cos2x，即9sin2x+18sinx+9=1−sin2x，
整理得：5sin2x+9sinx+4=0，即(5sinx+4)(sinx+1)=0，
解得：sinx=−45或sinx=−1(原式分母为0，舍去)，
将sinx=−45代入得：−125+3=−cosx，即cosx=−35，
则tanx=sinxcosx=43．
故选：A．
已知等式去分母变形后，得到关系式，两边平方并利用完全平方公式化简，整理求出sinx的值，进而求出cosx的值，即可确定出tanx的值．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，

易知AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，
因为O，M分别为BD，BN的中点，所以OM//DN，
所以DN⊥平面ABC，
∵VD−ABC=13×12×1×1×DN= 26，∴DN= 2，
即OM= 22，在Rt△ABC中，AB=BC=1，
∴BM= 22，∴BO=R=1，
∴球O的表面积为S=4πR2=4π．
故选：D．
取AC中点M，连接BM、OM，DN，易得AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，进而得到DN⊥平面ABC，然后根据四面体ABCD的体积为 26，可求外接球半径并求表面积．
本题考查球的表面积的求解，线面垂直的判定定理，化归转化思想，属中档题．

8.【答案】C 
【解析】解：构造函数f(x)=ex−1−x2(x>0)，则f′(x)=ex−2x，
令h(x)=ex−2x，则h′(x)=ex−2，
令h′(x)=0，得x=ln2，
所以h(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，
故h(x)≥h(ln2)=2−2ln2>0，
因此f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0．
令x=0.4，则f(0.4)=e0.4−1−0.42>0，
所以e0.4−1>0.16，即a 构造函数g(x)=2x−2ln(1+x)−x2(x≥0)，则g′(x)=2−21+x−2x=−2x21+x≤0，
因此g(x)在[0,+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(0)=0，
令x=0.4，则g(0.4)=0.8−2ln1.4−0.16<0，
所以0.8−2ln1.4<0.16，所以c 故b>a>c．
故选：C．
a与b可看作0.42与e0.4−1，从而可构造函数f(x)=ex−1−x2比大小，a与c可看作0.42与2(0.4−ln(1+0.4))，从而可构造函数g(x)=2x−2ln(1+x)−x2比大小．
本题考查使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x就有了函数的形式，如在本题中a=0.16，b=e0.4−1，将a=0.16化为0.42的目的就是出现0.4，以便与b=e0.4−1中的0.4一致，从而只需比较y=x2与y=ex−1这两个函数大小 关系即可．
在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小．

9.【答案】ABD 
【解析】解：∵cosBcosC=b2a−c=sinB2sinA−sinC，
整理可得：sinBcosC=2sinAcosB−sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sinAcosB，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴cosB=12,sinB= 32，故AB正确；
∵B∈(0,π)，∴B=π3，
∵S△ABC=3 34,b=3，
∴3 34=12acsinB=12×a×c× 32= 34ac，解得ac=3，
由余弦定理得9=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=(a+c)2−9，9=a2+c2−ac=(a−c)2+ac=(a−c)2+3，
解得a+c=3 2,a−c=± 6，故C错误，D正确．
故选：ABD．
利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

10.【答案】AC 
【解析】解：因为a>0，b>0，且a+b=4，
A：(a+2b)2−8ab=(a−2b)2≥0，A错误；
当a=b=2时取等号，B显然错误；
因为a+b=4，
所以ab≤(a+b2)2=4，当且仅当a=b=2时取等号，C正确；
1a+4b=a+b4a+a+bb=54+b4a+ab≥54+2 b4a⋅ab=94，当且仅当b=2a且a+b=4，即a=43，b=83时取等号，D错误．
故选：AC．
由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式最值求解中的应用，还考查了不等式的性质，属于基础题．

11.【答案】ABCD 
【解析】解：对于A，因X服从正态分布N(1,σ2)，且P(X≤0)=0.2，
由正态分布的性质知，P(X≥2)=P(X≤0)=0.2，
则P(X<2)=1−P(X≥2)=0.8，A正确；
对于B，∃x∈R，x2−2x+a<0，只需Δ=4−4a>0，解得a<1，
“a<11”是“a<1”的充分不必要条件，
即“a<11”是“∃x∈R，x2−2x+a<0”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，显然X～B(n,p)，则有E(X)=np=50，D(X)=np(1−p)=30，解得p=25，故C正确；
对于D，一组数据x1，x2，…，x100的平均值为27，则x1+1，x2+1，…，x100+1的平均值为27+1=28，故D正确．
故选：ABCD．
对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用充分不必要条件计算并判断；对于C，利用二项分布的期望与方差计算并判断；对于D，利用平均数的性质公式计算并判断．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．

12.【答案】AB 
【解析】解：对于A，设lAB：y=k(x−1)，不妨设A(x0,y0)，B(x1,y1)，A在第一象限，B在第三象限，则A点切线为：y−y0=1 x0(x−x0)，B点切线为：y−y1=−1 x1(x−x1)，
由二式以及抛物线方程得P(− x0x1, x0− x1)，
设lAB：y=k(x−1)，与抛物线方程联立可得k2x−(2k2+4)x+k2=0，所以x0x1=1，即P点横坐标为−1，
又抛物线的准线为x=−1，所以P在准线上，A正确；
对于B，若A(4,4)，B(4,−4)，则A点切线为y−4=12(x−4)，B点切线为y+4=−12(x−4)，联立二式得P(−4,0)，在直线x+y+4=0上，此时直线AB过(4,−2)；
若直线AB斜率存在，设lAB：y+2=k(x−4)，与抛物线方程联立得k2x−[2k(4k+2)+4]x+(4k+2)2=0，− x0x1+ x0− x1=−4k+2k+2k=−4，此时P(− x0x1, x0− x1)在直线x+y+4=0上，B正确；
对于C，根据对称性，不妨设A(x0,y0)，B(x1,y1)，A在第一象限，B在第三象限，x0>x1>0，
结合上面分析，|AB|=x0+x1+2=4(k2+1)÷k2，P到AB距离为|−k+ x1− x0−k|÷ k2+1=(2k+2k)÷ k2+1，△ABP面积为(k+1k)÷ k2+1×4(k2+1)÷k2=4(1+1k2) 1+1k2，显然当AB垂直于x轴时，△ABP面积取得最小值，为4，C错误；
对于D，当直线AB垂直于x轴且过焦点时，|AB|=4，此时△ABP面积为4，显然D错误．
故选：AB．
设直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算即可，对于面积的最值可以先用A，B点横坐标表示出面积，而后分析最值，或者结合选项找反例进行排除．
本题主要考查抛物线的性质，需要结合大量运算，属于难题．

13.【答案】10 
【解析】解：根据题意，共有9个数据，则9×80%=7.2，
该组数据从小到大排列为：2，5，7，7，8，8，9，10，11，
故这组数据的80百分位数为第8个数据，即10．
故答案为：10．
把该组数据从小到大排列，从而找出对应的第80百分位数．
本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．

14.【答案】2 7 
【解析】解：由圆x2+y2−6x=0，可得圆(x−3)2+y2=9，
可得圆心C(3,0)，半径r=3，
记点(2,1)为D，则|CD|= (3−2)2+(0−1)2= 2，
当弦与CD垂直时，弦长最短，
此时弦长为2 r2−d2=2 9−2=2 7．
故答案为：2 7．
求得点(2,1)到圆心的距离，利用垂径定理可求弦长的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的求法，属基础题．

15.【答案】1011 
【解析】解：由题意，当n=1时，a1=S1=1×22=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n，
∵当n=1时，a1=1也满足上式，
∴an=n，n∈N*，
∴1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴k=1101akak+1
=k=110(1k−1k+1)
=(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(110−111)
=1−12+12−13+⋅⋅⋅+110−111
=1−111
=1011．
故答案为：1011．
先根据题干已知条件结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2推导出数列{an}的通项公式，进一步计算出1anan+1的表达式，最后运用裂项相消法即可计算出结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

16.【答案】45 
【解析】解：由题意可得a=2e=ca= 32b= a2−c2，可得a=2，b=1，
所以椭圆的方程为x24+y2=1；
设D(x0,0)，x0∈(−2,2)，由题意设M(x0,y0)，则N(x0,−y0)，
则x024+y02=1，kAM=y0x0+2，所以kDE=−x0+2y0，
所以直线DE的方程为y=−x0+2y0(x−x0)，
直线BN的方程为y=−y0x0−2(x−2)，
联立y=−y0x0−2(x−2)y=−x0+2y0(x−x0)，解得x=45(12+x0)y=−45y0，
即E(45(12+x0),−45y0)，
所以S△BDES△BDN=12(2−x0)|−45y0|12(2−x0)|−y0|=45．
故答案为：45．
由题意可得a，c的值，进而求出b的值，可得椭圆的方程，设D的坐标，由题意可设M，N的坐标，求出直线AM的斜率，由题意可得直线DE的方程，求出直线BN的方程，两条直线的方程联立，可得E的纵坐标，进而求出两个三角形的面积之比．
本题考查椭圆的方程的求法及直线的方程的求法，属于中档题．

17.【答案】解：(1)由已知f(x)= 3sin2x+cos2x+m+1=2sin(2x+π6)+m+1，
又x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，
故x=π6时f(x)max=3+m=6，故m=3；
(2)∵f(x)≥4，∴sin(2x+π6)≥0，∴2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，
∴−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，
∴所求x的取值集合为{x|−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z}． 
【解析】(1)利用三角函数的恒等变换得到f(x)=2sin(2x+π6)+m+1，又x∈[0,π2]，得到2x+π6∈[π6,7π6]，利用函数的最大值即可求解；
(2)由题意得到sin(2x+π6)≥0,则2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，即可求解．
本题考查了三角函数的最值计算，属于中档题．

18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a2=3，S5=25，得a1+d=35a1+5×42d=25，解得a1=1，d=2．
∴an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)bn=2n−1，则cn=anbn=(2n−1)⋅2n−1．
∴Tn=1⋅20+3⋅21+5⋅22+...+(2n−1)⋅2n−1，
则2Tn=1⋅21+3⋅22+5⋅23+...+(2n−1)⋅2n，
两式作差可得：−Tn=1+22+23+...+2n−(2n−1)⋅2n
=1×(1−2n+1)1−2−2−(2n−1)⋅2n=2n+1−3−n⋅2n+1+2n．
∴Tn=(n−1)⋅2n+1−2n+3． 
【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列方程组求得首项与公差，则通项公式可求；
(2)由错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．
本题考查等差数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．

19.【答案】解：(1)证明：由题知四边形BDEF为矩形，
所以BF//DE，
又因为BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，
所以BF//面ADE，
同理可知BC//面ADE，
又因为BC∩BF=B，BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，
所以面BCF//面ADE，
又因为CM⊂面BCF，
所以CM//面ADE．
(2)因为面ABCD⊥面BDEF，且面ABCD∩面BDEF=BD，DE⊥DB，DE⊂面BDEF，
所以DE⊥面ABCD，
又因为底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，AB=2，
所以△ABD是等边三角形，且AB=BD=2，
设BF=a，
取AB的中点为G，连接DG，如图建立空间直角坐标系，
所以B( 3,1,0)，C(0,2,0)，E(0,0,a)，F( 3,1,a)，
则CF=( 3,−1,a)，BC=(− 3,1,0)，CE=(0,−2,a)，
设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z)，
则− 3x+y=0−2y+az=0，
取x=1，则y= 3，z=2 3a，
所以n=(1, 3,2 3a)，
设直线CF与平面BCE所成的角为θ，
则sinθ=|cos|=|CF⋅n||CF||n|=| 3− 3+a×2 3a| 4+a2× 4+12a2= 1510，
化简得a4−13a2+12=0，
解得a=2 3或1，
所以BF的长为2 3或1． 
【解析】(1)根据题意可得BF//面ADE，同理可知BC//面ADE，由面面平行的判定定理可得面BCF//面ADE，又CM⊂面BCF，即可得出答案．
(2)由线面垂直的判定定理可得DE⊥面ABCD，设BF=a，取AB的中点为G，连接DG，建立空间直角坐标系，计算平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z)，直线CF与平面BCE所成的角为θ，则sinθ=|cos|，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．

20.【答案】解：(1)设事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
设事件Aj=“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，Aj相互独立，
又甲队明星队员M前四局不出场，故P(Aj)=12,j=1,2,3,4，
又B=A1−A2A3A4+A1A2−A3A4+A1A2A3−A4，
∴P(B)=C31(12)4=316；
(2)设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，
则由全概率公式可知：P(C)=P(D)P(C|D)+P(D−)P(C|D−)，
∵每名队员上场顺序随机，∴P(D)=C42⋅A33A53=35，
又P(D−)=1−35=25，P(C|D)=(12)2×34=316，P(C|D−)=(12)3=18，
∴P(C)=316×35+18×25=1380；
(3)根据贝叶斯公式可得：
P(D|C)=P(CD)P(C)=P(C|D)⋅P(D)P(C)=316×351380=913． 
【解析】(1)根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；
(2)根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；
(3)根据贝叶斯公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．

21.【答案】解：(1)易知双曲线C：x2a2−y2b2=1关于x轴对称，P3，P4关于x轴对称，
故P3，P4都在双曲线C上，
若P1(1,1)，P3( 2, 3)，P4( 2,− 3)在双曲线上，
则1a2−1b2=12a2−3b2=1，
可得a= 22，不满足a∈N；
若P2(1,0)，P3( 2, 3)，P4( 2,− 3)在双曲线上，
则1a2=12a2−3b2=1，
可得a=1，满足a∈N，
故双曲线C的方程为x2−y23=1；
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，则k1+k2=0，不符合题设；
从而可设l：y=kx+m(m≠1)，
将y=kx+m代入x2−y23=1，得(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0，
则Δ=4k2m2+4(3−k2)(m2+3)>0，
化简得m2−k2+3<0，
设A(x1,y1)B(x2,y2)，
则x1+x2=2km3−k2，x1x2=−m2−33−k2，
而k1+k2=y1x1−1+y2x2−1=2kx1x2+(m−k)(x1+x2)−2mx1x2−(x1+x2)+1=−1，
化简得k2+(2m+6)k+m2+6m=0，即k=−m−6(舍去k=−m，一定不满足Δ>0)，
所以l的方程为y=kx−k−6=k(x−1)−6，过定点(1,−6)． 
【解析】(1)分析可知P3，P4都在双曲线C上，可得a=1，进而得出双曲线方程；
(2)易知l与x轴垂直时，不符合题意，进而可设l：y=kx+m(m≠1)，联立直线l与双曲线的方程，得到两根之和与两根之积，再结合直线P2A与直线P2B的斜率的和为−1，可得k与m的关系，进而得证．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)已知函数f(x)=ln(x+1)−axx+1(a∈R)，函数定义域为(−1,+∞)，
可得f′(x)=1x+1−a(x+1)−ax(x+1)2=x−(a−1)(x+1)2，
若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
此时f′(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，
即x−(a−1)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，
若a>1，
当0 此时f′(x)<0，不符合题意；
若a≤1，
此时f′(x)>0，f(x)单调递增，符合题意，
故a的取值范围为(−∞,1]；
(2)证明：要证∀n∈N*，(1−12 n2)(1−12 n2+1)…(1−12 4n2−1)<1en，
需证(2 n2−12 n2⋅2 n2+1−12 n2+1⋅...⋅2 4n2−1−12 4n2−1)<1en，
要证2 n22 n2−1⋅2 n2+12 n2+1−1⋅...⋅2 4n2−12 4n2−1−1>en，
即证ln(1+12 n2−1)+ln(1+12 n2+1−1)+...+ln(1+12 4n2−1−1)>n，
由(1)知，当a=1时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0，
所以当x>0时，ln(x+1)−xx+1>0恒成立，
即ln(x+1)>xx+1恒成立，
此时ln(1+12 n2−1)>12 n2−112 n2−1+1=12 n2，
即ln(1+12 n2−1)>12 n2，
同理得ln(1+12 n2+1−1)>12 n2+1，…，ln(1+12 4n2−1−1)>12 4n2−1，
以上各式相加得ln(1+12 n2−1)+ln(1+12 n2+1−1)+...+ln(1+12 4n2−1−1)
>12 n2+12 n2+1+...+12 4n2−1>1 n2+ n2+1+1 n2+1+ n2+2+...+1 4n2−1+ 4n2
=( n2+1− n2)+( n2+2− n2+1)+...+( 4n2− 4n2−1)= 4n2− n2=2n−n=n，
故：∀n∈N*，(1−12 n2)(1−12 n2+1)…(1−12 4n2−1)<1en． 
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到f(x)的单调性，分别对a≤1和a>1这两种情况进行分析，进而即可求解；
(2)要证要证∀n∈N*，(1−12 n2)(1−12 n2+1)…(1−12 4n2−1)<1en，即证ln(1+12 n2−1)+ln(1+12 n2+1−1)+...+ln(1+12 4n2−1−1)>n，结合(1)中所得信息，整理得ln(x+1)>xx+1恒成立，再利用累加法和裂项相消法进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．