湖南省岳阳市2026届高三下学期教学质量监测（二）数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、单项选择题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 中的元素个数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 与 的夹角为 120°， ，则 （ ）
A. 3 B. 7 C. D.
4. 设 ， 为非零实数，则“ ”是 “ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右
平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数 为奇函数，则 可能的取值为（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列 的首项为 1，公差不为 0.若 成等比数列，则数列 的前 6 项和为（ ）
A. B. C. 26 D. 24
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7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 且斜率为 的直线与双
曲线 E 的右支交于 两点，若 则双曲线 E 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 2 或 D. 或
8. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中
所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为 2.已知点 是阴影区域(含边界)上的一个动点，则
的值不可能是（ ）
A. 0 B. 6 C. 8 D. 10
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 的第 70 百分位数是
B. 若一组数据的标准差为 0 ，则这组数据中的每个数值均相等
C. 若事件 相互独立，则
D. 若事件 两两独立，则
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正三角形 ABC 沿着 x 轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点 A
在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点 满足函数关系式 ，则下列判断正确的有（ ）
A.
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B. 函数 图象的对称轴方程为
C. 不等式 的解集为
D. 直线 与函数 的图象恰有 3 个交点
11. 如 图 ， 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 中 ， 点 为 中 点 ， 动 点 满 足
则（ ）
A. 若点 到直线 和 的距离相等，则 点的轨迹为抛物线的一部分
B. 存在这样的点 使 EP⊥平面
C. 若点 与点 重合，则三棱锥 的外接球半径为
D. 若 与 的夹角为 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中的常数项为_______．
13. 在△ABC 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 且
，则 的最小值为_____.
14. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 6 次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续 3 次正面朝上的概率
为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ，若数列 是等差数列，且
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（1）求数列 的通项公式 ;
（2）设 求数列 的前 项和 .
16. 某高校快递站统计了某年度新学期前 5 天的取件人数 y(单位：人)，得到如下样本数据：
天数(序号)x 1 2 3 4
每日取件人数 120 100 80 70
（1）计算样本相关系数 r，并据此判断变量 x 与 y 之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)；
（2）从这 5 天中随机选取 3 天，记 X 为所选日期中取件人数小于 100 的天数，求 X 的分布列与数学期望.
注: （1）样本 的相关系数
（2）参考数据：
17. 如图 1， 分别为边长为 4 的正方形三边 的中点.将四边形 沿着线段 EF 折起
(如图 2)，且点 M 是线段 上一点.
（1）求证: ；
（2）若二面角 的大小为 且三棱锥 M-DFG 的体积为 设过直线 且与直线 平
行的平面为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 已知函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）若存在两个不相等的正实数 ， ，使得
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（i）求证： ；
（ii）设 ， 为正实数，证明： 和 中至少有一个小于 .
19. 如图，椭圆 与抛物线 有相同的焦点，坐标原点为 O，椭圆右顶点为 A
，椭圆与抛物线在第一象限交于点 P，在第四象限交于点 Q，且 .
（1）求椭圆方程；
（2）若封闭曲线 围成的区域面积为 S，证明：
（3）将封闭曲线 绕 x 轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以 x 轴为轴的圆台，圆台体积
为 ，证明： .
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