2026岳阳高三下学期开学摸底检测试题数学含解析

这是一份2026岳阳高三下学期开学摸底检测试题数学含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120B．60C．24D．36
3．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（ ）
A．68B．63C．35D．48
5．设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ）
A．B．C．D．
7．若直线与直线垂直，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ）
A．该学生的眼睛近视的概率为0.69
B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8
C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3
D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为
10．辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（ ）
A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥
B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立
C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立
D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立
11．在中，边所对的角分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．等比数列，若数列满足，则数列的前项和___________
13．已知函数，则满足的实数m的取值范围是______．
14．常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________．
四、解答题
15．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，求BC边上的高的最大值．
16．如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．
17．已知点，点在圆：上运动，线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过圆心的直线与曲线相切，求直线的方程.
18．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．
19．已知函数.
(1)证明函数存在唯一零点；
(2)的零点为，证明.
参考答案
1．D
【详解】由可得，解得，即，
因，则.
故选：D.
2．D
【详解】根据题意可分为2种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案，
综上可得，共有种不同的选派方案.
故选：D
3．D
【详解】由，且，都有，则在上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减，
由，则，且，
故或时，或时，
所以的解集为.
故选：D
4．B
【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，
男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为，
则样本中全部员工的平均体重为，
依题意，方差为
.
化简得，解得 或(舍).
所以女员工的人数为： .
故选：B
5．C
【详解】由，得，设的图象与的图象的交点为，
由，得，设的图象与的图象的交点为，
而的图象与的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，
因此点与点关于直线对称，则，
而当时，；当时，，函数在上单调递减，
所以.

故选：C
6．A
【详解】，，，，；
，几何体为三棱台，
设三棱柱的高为，
，
，.
故选：A.
7．C
【详解】对于直线和直线垂直,则.
已知直线中,直线中.
因为,即.
故选：C.
8．C
【详解】由题意得⊥，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
故，即为坐标原点O到直线的距离，则，
所以，
由双曲线定义可得，所以，
又，由勾股定理得，
故，解得，故离心率为.
故选：C
9．AC
【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确；
对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误；
对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确；
对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误.
故选：AC.
10．BC
【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误.
“小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为，，B正确.
“小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，，C正确.
“小林参加B场或C场活动”的概率为，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为，，D错误.
故选：BC.
11．BD
【详解】，则由余弦定理可得，
，，
，，
即，，
，，则，
.
故选：BD.
12．
【详解】设等比数列的公比，因为，
所以，即，解得，
所以，，
所以，
所以数列的前项和

故答案为：
13．
【详解】函数的定义域为R，令函数，
则，即函数是R上的奇函数，
又，当且仅当时取等号，
因此函数在R上单调递增，
所以不等式，
则，解得，所以实数m的取值范围是.
故答案为：
14．3或
【详解】由椭圆，可得椭圆，
当时，表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，即，
当时，表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，即，
综上，实数a的值为3或.
故答案为：3或.
15．(1)
(2)2
【详解】（1）由可得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
（2）依题意，，设BC边上的高为，
由，可得，
由余弦定理 可得，
即，当且仅当时等号成立，
因此，
所以BC边上的高的最大值为2．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可得：，
则，所以有，则
由平面平面，平面平面，
且，平面，则平面，
又平面，则.
（2）取中点分别为，连接
由为正三角形知，，
结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，
如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
可得
设，则，且，
可得
由，解得或（舍去），
则，且
故点到直线的距离
17．(1)
(2)或.
【详解】（1）设，，
由，为的中点，则，，
解得，，
因为点在圆：上，
所以，即，
化简得，
所以曲线的方程为.
（2）易知，曲线是以为圆心，为半径的圆.
显然当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线不相切；
故直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，即，
由直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
故直线的方程是或.
18．(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）法一：由题意得的可能取值为．
，，
，．
因此．
法二：由题意得的可能取值为．
又，故（）．
因此．
（2）设事件“次之内（含次）停止摸球”，
事件“第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“首次选择甲袋是第次摸球”（），
事件“一直没有选择甲袋”．
则
．
．
．
因此．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为）
故函数在没有零点；
当时，，易见在上是减函数，
且，故存在，使得在上递增，在上递减，
且，
所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点，
故在上存在唯一零点.
（2）注意到，由（1）知存在唯一使得，
即有，故.
令，
令，显然当时，.故在上单调递减，
所以.0
1
2
3