2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题三　微创新　数列与其他知识的综合问题 （含解析）

这是一份2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题三　微创新　数列与其他知识的综合问题 （含解析），共7页。试卷主要包含了632>10，635，879等内容，欢迎下载使用。
1.(17分)如图，对每个正整数n，An(xn，yn)是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn，tn).
(1)试证：xnsn=-4(n∈N*)；(6分)
(2)取xn=2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.(11分)
2.(17分)(2024·吉林模拟)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；(单位：人)(7分)
(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
①求经过i(i∈N*)次传递后球回到甲的概率；(4分)
②记前m(m∈N*)次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.(6分)
参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d；E(mΣi=1Xi)= mΣi=1E(Xi).
附表：
3.(17分)(2024·广州模拟)已知正项数列{an}，{bn}满足an+1=bn+c2，bn+1=an+c2(其中c>0).
(1)若a1≠b1，且a1+b1≠2c，证明：数列{an-bn}和an+bn-2c均为等比数列；(5分)
(2)若a1>b1，a1+b1=2c，以an，bn，c为三角形三边长构造序列△AnBnCn(其中AnBn=c，BnCn=an，AnCn=bn)，记△AnBnCn的外接圆的面积为Sn，证明：Sn>π3c2；(6分)
(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.(6分)
答案精析
1.证明 (1)对任意固定的n∈N*，因为焦点F(0，1)，所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx，
将它与抛物线方程x2=4y联立得
x2-4knx-4=0，
由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4(n∈N*).
(2)对任意固定的n∈N*，
利用导数知识易得抛物线x2=4y在An处的切线的斜率kAn=xn2，
故x2=4y在An处的切线的方程为
y-yn=xn2(x-xn)，①
类似地，可求得x2=4y在Bn处的切线的方程为y-tn=sn2(x-sn)，②
由②-①得yn-tn=-xn-sn2x+xn2-sn22=xn24-sn24，
xn-sn2x=xn2-sn24，
所以x=xn+sn2，③
将③代入①并注意xnsn=-4得交点Cn的坐标为xn+sn2，-1.
由两点间的距离公式得
|FCn|2=xn+sn22+4
=xn24+sn24+2=xn24+4xn2+2
=xn2+2xn2，
则|FCn|=|xn|2+2|xn|.
取xn=2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得
|FC1|+|FC2|+…+|FCn|
=12(|x1|+|x2|+…+|xn|)+
21|x1|+1|x2|+…+1|xn|
=12(2+22+…+2n)+
212+122+…+12n
=(2n-1)+(2-21-n)
=2n-2-n+1+1.
2.解 (1)将所给数据进行整理，得到如下列联表：
零假设H0：南北方游客来此景点旅游与收看短视频无关联.
χ2=500×(200×120-80×100)2300×200×280×220
=8 000231≈34.632>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)①设经过i次传递后球回到甲的概率为Pi，
Pi=(1-Pi-1)×14
=-14Pi-1+14(i≥2)，
Pi-15=-14Pi-1-15，
又P1-15=-15≠0，
所以Pi-15是首项为-15，公比为-14的等比数列，
所以Pi=15-15-14i-1(i∈N*).
②设第i次传递时甲接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，E(Yi)=Pi，
设前m次传递中球传到甲的次数为Y，
E(Y)=E(mΣi=1Yi)= mΣi=1E(Yi)
=P1+P2+P3+…+Pm
=m5-15×1--14m1+14
=425-14m+m5-425，
因为E(X)=m-E(Y)4，
所以E(X)=m5+125-125-14m.
3.证明 (1)正项数列{an}，{bn}满足an+1=bn+c2，bn+1=an+c2，
两式相减可得
an+1-bn+1=-12(an-bn)，
因为a1≠b1，所以a1-b1≠0，
所以{an-bn}是以a1-b1为首项，-12为公比的等比数列，
由an+1=bn+c2，bn+1=an+c2，
两式相加可得
an+1+bn+1=12(an+bn)+c，
即an+1+bn+1-2c=12(an+bn-2c)，
因为a1+b1≠2c，
所以a1+b1-2c≠0，所以{an+bn-2c}是以a1+b1-2c为首项，12为公比的等比数列.
(2)因为a1>b1，由(1)得{an-bn}是等比数列，
所以an-bn≠0，即an≠bn，
由(1)知，an+1+bn+1-2c=12(an+bn-2c)，
因为a1+b1=2c，
所以a1+b1-2c=0，
所以{an+bn-2c}为常数列{0}，
故an+bn=2c，
由cs Cn=an2+bn2-c22anbn
=an2+bn2-an+bn222anbn
=an2+bn2-14an2-14bn2-12anbn2anbn
=34an2+34bn2-12anbn2anbn
=38anbn+bnan-14
≥34-14=12，
因为an≠bn，所以等号不成立，
故cs Cn>12，因为Cn∈(0，π)，
所以Cn∈0，π3，
所以sin Cnc32=2c3，
所以r>c3，所以Sn=πr2>πc23.
(3)由(1)可知，
an-bn=(a1-b1)-12n-1，
由(2)可知，an+bn=2c，
解得an=c+a1-b12-12n-1，
bn=c-a1-b12-12n-1，
所以anbn=c2-(a1-b1)24-122n-2
=c2-(a1-b1)214n，
anbn随着n的增大而增大，
又因为cs Cn=an2+bn2-c22anbn
=(an+bn)2-c2-2anbn2anbn
=3c2-2anbn2anbn=3c22anbn-1，
所以cs Cn随着n的增大而减小，所以{cs Cn}是递减数列，
因为Cn∈0，π3，
所以{sin Cn}是递增数列，所以csin Cn是递减数列，
所以数列{Sn}是递减数列.
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
200
100
300
北方游客
80
120
200
合计
280
220
500