2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题六　微创新　圆锥曲线与其他知识的综合问题 （含解析）

这是一份2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题六　微创新　圆锥曲线与其他知识的综合问题 （含解析），共5页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1.(17分)在Oxy平面上，我们把与定点F1(-a，0)，F2(a，0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点.已知曲线C：(x2+y2)2=9(x2-y2)是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点F1，F2的坐标；(6分)
(2)判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O？如果存在，求点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由.(11分)
2.(17分)已知双曲线C：x2-y2=1，直线l为其一条渐近线，且直线l的斜率大于0，A1为双曲线的右顶点，过A1作x轴的垂线，交l于点B1，再过B1作y轴的垂线交双曲线右支于点A2，重复刚才的操作得到B2，A3，B3，…，An，Bn，…，记Anxn，yn.
(1)求xn的通项公式；(4分)
(2)过Ai作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于Mi，Ni，记ai=1MiNi，bi=ai+1，求证：123+12ln2n+35≤nΣi=1bi0)，
由题意得(x-a)2+y2·(x+a)2+y2=a2，
即[(x-a)2+y2][(x+a)2+y2]=a4，
整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2)，
又(x2+y2)2=9(x2-y2)，
则2a2=9，解得a=±322，
因为a>0，所以a=322，
所以F1-322，0，F2322，0.
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过原点O，
则OA⊥OB，
由C：(x2+y2)2=9(x2-y2)，
令x=0，(0+y2)2=9(0-y2)，
即y4+9y2=0，
解得y=0，所以直线OA，OB的斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y=k1x，直线OB的方程为y=k2x，
将直线OA的方程与曲线C联立，得(1+k12)2x4=9x2(1-k12)，
因为A，B异于坐标原点O，即x≠0，
所以x2=9(1-k12)(1+k12)2>0，解得k1∈ (-1，1)，
同理可得k2∈(-1，1)，
所以k1k2=-1不成立，则假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过原点O.
2.(1)解 双曲线C：x2-y2=1，渐近线方程为y=±x，
由已知可得yn+1=xn，
又点An+1(xn+1，yn+1)在双曲线上，所以xn+12-yn+12=1，
即xn+12-xn2=1，
所以{xn2}是以x12=1为首项，公差为1的等差数列，
所以xn2=n，即xn=n.
(2)证明 设Ai(xi，yi)，
有xi2-yi2=1，
以Ai为切点的双曲线的切线，当yi≠0，斜率存在时，设斜率为k，
切线方程为y=k(x-xi)+yi，代入双曲线C，
得(1-k2)x2-2k(yi-kxi)x-(yi-kxi)2-1=0，
由Δ=0，
得yi2k2-2xiyik+xi2=0，
解得k=xiyi，切线方程为xix-yiy=1，
A1(1，0)为切点的双曲线的切线方程x=1也满足，
由xix-yiy=1,y=x,
可得x=y=1xi-yi=1i-i-1
=i+i-1，
即Mii+i-1，i+i-1，
由xix-yiy=1,y=-x,
可得x=-y=1xi+yi
=1i+i-1=i-i-1，
即Nii-i-1，i-1-i，所以MiNi=(2i-1)2+(2i)2
=22i-1，
所以ai=1MiNi=122i-1，
bi=122i+1.
先证右边：
bi=122i+1=12i+1+2i+1ln(1+x)，
令f(x)=x-ln(x+1)(x>0)，
f'(x)=1-1x+1=xx+1>0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，
即当x>0时，x>ln(1+x)，
所以bi=122i+1
>ln1+122i+1=ln22i+1+122i+1，
当i≥2时，22i+1+1≥22i+3，
证明如下：
(22i+1+1)2-(22i+3)2
=4(2i+1)+42i+1+1-4(2i+3)
=42i+1-7≥45-7>0，
所以ln22i+1+122i+1>ln22i+322i+1=12ln2i+32i+1，
所以当n≥2时，
n∑i=1bi=123+125+…+122n+1>123+12ln75+…+12ln2n+32n+1=123+12ln2n+35，
当n=1时，b1=123，
所以n∑i=1bi≥123+12ln2n+35，左边得证.
所以命题得证.