2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题五　微创新　概率、统计与其他知识的综合问题 （含解析）

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1.(17分)(2024·杭州模拟)投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为Pn.
(1)求P1，P2，P3和P4；(3分)
(2)写出Pn的递推公式；(6分)
(3)单调有界原理：①若数列{an}单调递增，且存在常数M，恒有an≤M成立，那么这个数列必定有极限，即limn→+∞an存在；②若数列{an}单调递减，且存在常数m，恒有an≥m成立，那么这个数列必定有极限，即limn→+∞an存在.请根据单调有界原理判断limn→+∞Pn是否存在？有何统计意义？(8分)
2.(17分)(2024·汕头模拟)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤kP4，
则当n≥2时，数列{Pn}是递减的，显然有下界0，
于是数列{Pn}的极限存在，对Pn-Pn-1=-116Pn-4两边取极限，得limn→+∞Pn=0，
其统计意义是：当投掷的次数足够多时，不连续出现三次正面向上的次数非常少，其概率趋近于0.
2.解 (1)依题意，4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，有A44=24(种)情况，要摘到那颗最大的番石榴，有以下两种情况.
①最大的番石榴是第3颗，其他的随意在哪个位置，有A33=6(种)情况；
②最大的番石榴是最后1颗，第二大的番石榴是第1颗或第2颗，其他的随意在哪个位置，有2A22=4(种)情况，所以所求概率为6+424=512.
(2) 记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件Bi表示最大的番石榴排在第i颗，则P(Bi)=1n，
由全概率公式知P(A)=nΣi=1P(A|Bi)P(Bi)=1nnΣi=1P(A|Bi)，
当1≤i≤k时，最大的番石榴在前k颗中，不会被摘到，此时P(A|Bi)=0；
当k+1≤i≤n时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i-1颗番石榴中的最大的一颗在前k颗之中时，
此时P(A|Bi)=ki-1，
因此P(A)= 1nkk+kk+1+…+kn-1=knlnnk，
令g(x)=xnlnnx(x>0)，
求导得g'(x)=1nlnnx-1n，
由g'(x)=0，得x=ne，
当x∈0，ne时，g'(x)>0；
当x∈ne，n时，g'(x)