2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题九 考点26 数列求和及其综合应用（A卷）

专题九 考点26 数列求和及其综合应用（A卷）

1.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，每过期一天便加纳一天利息，债务过期一天要纳利息一尺绢，过期二天则第二天便再纳利息二尺，这样，每天利息比前一天增加一尺.若过期100天，欠债方共纳利息为(   )

A.100尺 B.4950尺 C.5000尺 D.5050尺

2.正整数数列的前n项和为，则数列的前100项和为(   )

A. B. C. D.

3.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为(   )

A. B. C. D.

4.已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，.则使得的值为(   )

A. B. C. D.

5.《张丘建算经》卷上有题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第二天起每天比前一天多织(   )

A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布

6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤.问：次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细质量是均匀变化的，其质量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的质量为，且，若，则(   )

A.4 B.5 C.6 D.7

7.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为(   )

A. B. C. D.

8.定义为n个正数，，，…，的“快乐数”.若已知正项数列的前n项的“快乐数”为，则数列的前2021项和为(   )

A. B. C. D.

9.在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前n项和是(   )
A. B. C. D.

10.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则__________.

11.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为______________尺.

12.在数列中，，则___________，数列的前n项和为______________.

13.已知数列满足，，则数列的前50项和为__________.

14.已知数列的前n项和为.

（1）若，，证明：；

（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.

15.已知数列是公差为1的等差数列，数列是公比为的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

答案以及解析

1.答案：D

解析：由题意知，每天的利息构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以共纳利息为尺.

2.答案：C

解析：由题意，正整数数列的前n项和，，则，故选C.

3.答案：D

解析：因为，故数列为等比数列.又因为，，所以，则，所以，故选D.

4.答案：B

解析：数列的前n项和满足，

当时，；

当时，，

当时，适合上式，所以，

则，

所以.

故选B.

5.答案：D

解析：设该女子第n天织尺布，前n天共织布尺，则数列为等差数列，设其公差为d.由题意，得，解得.

6.答案：C

解析：由题意知，由细到粗每段的质量成等差数列，设公差为d，则，即，解得，所以该金杖的质量，因为，所以，解得，故选C.

7.答案：A

解析：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d.由题意，得，且，解得.

8.答案：B

解析：设数列的前n项和为，则根据题意，得，，，当时也满足上式，所以，所以，所以的前2021项和为.

9.答案：A

解析：在各项都为正数，公比设为q的等比数列中，若，且，则，解得，则.数列即为，，数列的前n项和是.故选A.

10.答案：

解析：由题意可得1个月后老鼠的只数，2个月后老鼠的只数，3个月后老鼠的只数，…，n个月后老鼠.

11.答案：1.5

解析：设这十二个节气的日影长构成等差数列，公差为，前项和为，由题意得，即解得所以夏至的日影子长为1.5尺.

12.答案：；

解析：由已知，得当时，，所以，所以，则，，所以数列的前n项和为.

13.答案：-52

解析：由，得，则，，，，所以，于是数列的前50项和.

14.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）因为，，

所以，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，

，

当时，，，

当时，满足上式，

所以，所以成立.

（2）由（1）知，

，

所以，

则，

所以，

所以成立.

15.答案：（1）

（2）

解析：（1）设数列的首项为x，则，

所以.

设数列的首项为y，则，

所以.

分别令，，得解得

所以.

（2）由（1）得，所以，

两边同乘以，得，

两式相减，得.

所以.