2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题一　微专题五　导数与不等式证明 （含解析）

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1.(16分)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=xln x+ax+1(a∈R).
(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(7分)
(2)当x>1时，证明：exln x>e(x-1).(9分)
2.(17分)(2024·黔西模拟)已知函数f(x)=92x2-xln x-2x.
(1)判断f(x)的单调性；(8分)
(2)证明：913+35+57+…+2n-12n+1>3n-ln(2n+1)(n∈N*).(9分)
3.(17分)(2024·泰安模拟)在数学中，由m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排列成的m行n列的数表a11 a12 … a1n… … … …ai1 ai2 … ain… … … …am1 am2 … amn称为m×n矩阵，其中aij称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若A=a11 a12 … a1n… … … …ai1 ai2 … ain… … … …am1 am2 … amn，B=b11 … b1j … b1pb21 … b2j … b2p… … … … …bn1 … bnj … bnp，则C=AB=c11 … c1j … c1p… … … … …ci1 … cij … cip… … … … …cm1 … cmj … cmp，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj，i=1，2，…，m，j=1，2，…，p.已知1 x0 -2lnxax=c1c2，函数f(x)=c1+c2.
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)
(2)若x1，x2(x10，解得x>1，
令g'(x)1，
h'(x)=ex-e，
故当x>1时，h'(x)>0，
∴h(x)=ex-ex在(1，+∞)上单调递增，
∴h(x)>h(1)=0，∴ex>ex.
∴当x>1时，exx>e，
即ex(x-1)x>e(x-1).
由此可证，当x>1时，
exln x>ex(x-1)x>e(x-1).
方法二 当x>1时，
要证exln x>e(x-1)成立，
即证ln x>x-1ex-1，x>1.
设G(x)=ln x-x-1ex-1，x>1，
G'(x)=1x-ex-1-(x-1)ex-1(ex-1)2
=ex-1+x2-2xxex-1，
设m(x)=ex-1+x2-2x，x>1，
m'(x)=ex-1+2x-2
=ex-1+2(x-1)，
当x>1时，m'(x)>0，
∴m(x)在(1，+∞)上单调递增.
∴m(x)>m(1)=0，∴G'(x)>0，
∴G(x)在(1，+∞)上单调递增，
G(x)>G(1)=0，
由此可证，当x>1时，
exln x>e(x-1)成立.
2.(1)解 易知函数f(x)=92x2-xln x-2x的定义域为(0，+∞)，
可得f'(x)=9x-(ln x+1)-2=9x-ln x-3，
令g(x)=9x-ln x-3，
则g'(x)=9-1x=9x-1x，
当x∈0，19时，g'(x)0；
即f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
因此f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)可知f'(x)=9x-ln x-3>0，即9x>ln x+3，
可得9×2n-12n+1>ln2n-12n+1+3，
所以nΣi=19×2i-12i+1>nΣi=1ln 2i-12i+1+3，
即可得913+35+57+…+2n-12n+1
>ln 13+ln 35+…+ln 2n-12n+1+3n
=ln 1-ln 3+ln 3-ln 5+…+ln(2n-1)-ln(2n+1)+3n
=3n-ln(2n+1)，
即913+35+57+…+2n-12n+1>3n-ln(2n+1)(n∈N*).
3.(1)解 由矩阵乘法定义知f(x)=ln x+ax2-2ax，x∈(0，+∞)，
∵f'(x)=1x+2ax-2a=2ax2-2ax+1x，
∴当a=0时，f'(x)=1x>0，
f(x)在(0，+∞)上单调递增，
当a≠0时，方程2ax2-2ax+1=0的判别式Δ=4a(a-2)，
当0α>0，
当x∈(0，α)∪(β，+∞)时，
f'(x)>0，f(x)在(0，α)，(β，+∞)上单调递增，
当x∈(α，β)时，f'(x)2时，f(x)有两个极值点，
设P(x)=f(x)x00，
∴P(x)在0，12上单调递增，
∴P(x)≤P12=-2ln 2-32a，
由(1)知x1∈0，12，a>2，
∴P(x1)