2025年高考数学一轮复习-微专题(五)-导数与不等式的证明【课件】

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[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1.令m(x)＝f′(x)＝ex＋2x－1，则m′(x)＝ex＋2>0.所以m(x)在R上单调递增，即f′(x)在R上单调递增．注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
不等式恒成立问题的解题关键点
已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决．
根据不等式能成立求参数的步骤(1)利用题设条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式的能成立问题；(2)用导数求该函数在区间上的最值；(3)构建不等式求解．
已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－1.(1)当a>0时，证明函数f(x)在区间(0, ＋∞)上只有一个零点；(2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范围．解：(1)证明：当a>0时，f′(x)＝xex－a，x∈(0, ＋∞)，令g(x)＝ f′(x)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，∴f′(x)＝xex－a在(0，＋∞)上为增函数，∵f′(0)＝－a<0, f′(a)＝aea－a>0，∴∃x0∈(0，a)，使f′(x0)＝x0ex0－a＝0，∴当x∈(0, x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0, ＋∞)时，f′(x)>0，因此，f(x)在(0, x0)上为减函数，f(x)在(x0, ＋∞)上为增函数，