2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练26　导数与不等式的证明（含解析）

这是一份2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练26　导数与不等式的证明（含解析），共7页。试卷主要包含了已知函数f=exx等内容，欢迎下载使用。
(1)试问曲线y=f(x)是否存在过原点的切线?若存在,求切点的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)证明:f(x)>12x2ln x.(参考数据:e5>128)
2.(15分)(2025河北衡水模拟)已知函数f(x)=ex+ax-1,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是e-1.
证明:(1)f(x)≥0.
(2)ex-3>ln x-1.
3.(17分)(2025江苏南通模拟)已知函数f(x)=exsin x,g(x)=2ln(x+1)-x.
(1)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,π2)时,f(x)>exg(x);
(3)求证:12ln(n+1)e2,且[a,b]的长度d>2m2-em.
答案：
1.(1)解 假设曲线y=f(x)存在过原点的切线,易知该切线的斜率存在,设为k,并设切点为(m,km),函数f(x)=exx求导得f'(x)=ex(x-1)x2,
则f(m)=emm=km,f'(m)=em(m-1)m2=k,
整理得em(m-1)=em,解得m=2,
则km=e22,
所以曲线y=f(x)存在过原点的切线,且切点为2,e22.
(2)证明 x∈(0,+∞),不等式f(x)>12x2ln x即为exx>12x2ln x,即2exx4>lnxx.设函数g(x)=2exx4(x>0),求导得g'(x)=2ex(x-4)x5,
当x∈(0,4)时,g'(x)1e,
因此g(x)min>h(x)max,
所以f(x)>12x2ln x.
2.证明 (1)因为f(x)=ex+ax-1,
所以f'(x)=ex+a,
所以f'(1)=e+a.
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是e-1,
所以e+a=e-1,解得a=-1.
所以f(x)=ex-x-1,
则f'(x)=ex-1,
由f'(x)>0,得x>0,
由f'(x)0,所以m(x)在(0,+∞)内单调递增,
又m(2)=2e-10,
所以存在x0∈(2,3),使得m(x0)=0,
即x0ex0-3-1=0,
即x0=1ex0-3=e3-x0,
且当x∈(0,x0)时,m(x)0,
所以g(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,
所以g(x)min=g(x0)=ex0-3-ln x0+1=ex0-3-ln e3-x0+1=ex0-3+x0-2.
因为x0∈(2,3),所以x0-2>0,
所以g(x)min>0,
所以g(x)≥g(x)min>0,
即ex-3>ln x-1.
3.(1)解 因为f(x)=exsin x,
所以f(0)=e0sin 0=0,f'(x)=exsin x+excs x,所以切线斜率为f'(0)=e0sin 0+e0cs 0=1,
所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=1×(x-0),即x-y=0.
(2)证明 因为ex>0,所以f(x)>exg(x)等价于sin x>2ln(x+1)-x.
设t(x)=sin x+x-2ln(x+1),
所以t'(x)=cs x+1-2x+1,且t(0)=0,t'(0)=0.
当x∈(0,π2)时,
设q(x)=t'(x)=cs x+1-2x+1,
则q'(x)=-sin x+2(x+1)2.
因为函数y=-sin x,y=2(x+1)2在(0,π2)内均为减函数,
则q'(x)在(0,π2)内单调递减,
又因为q'(0)=2>0,q'(π2)=-1+2(π2+1) 20,当x00,
则t(x)在(0,π2)内单调递增,
所以t(x)>t(0)=0.
综上,当x∈(0,π2)时,t(x)>0,即得sin x>2ln(x+1)-x,
所以f(x)>exg(x).
(3)证明 因为n∈N*,所以0ln(x+1),其中x∈(0,π2).
设m(x)=sin x-ln(x+1),
则m'(x)=cs x-1x+1,
设n(x)=m'(x),
则n'(x)=-sin x+1(x+1)2.
因为函数y=-sin x,y=1(x+1)2在(0,π2)内均单调递减,
则n'(x)=-sin x+1(x+1)2在区间(0,π2)内单调递减,
因为n'(0)=1>0,n'(π2)=-1+1(π2+1) 20;
当x10,m'(π2)=-1π2+10;当x2e.
此时h(1)=-10,
则l(x)在(1,+∞)内单调递增,
则l(x)>l(1)=0,即ln x>2(x-1)x+1,
即lnba>2×ba-1ba+1,
所以a+b2>b-alnb-lna=b+alnb+lna.
所以ln a+ln b=ln(ab)>2,
所以ab>e2.
记s(x)=ln x+ex-2,则s'(x)=1x-ex2=x-ex2,当x∈(0,e)时,s'(x)