2025-2026学年下学期山东九五协作体高三数学3月学习质量评估试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东九五协作体高三数学3月学习质量评估试卷含答案，共9页。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 a,b 为实数，虚数1-i 是方程 x2+ax+b=0 的根，则 ab 的值为
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
2. 已知集合 A={x,yy=x∣−1},B=x,y∣x2+y2=1 ，则 A∩B 中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 a,b,c 为向量，则 “ a−b⋅c=0 ” 是 “ a=b 或 c=0 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若 x−y1y B. 1x0 D. lny−x+1>0
5. C20250+2C20251+22C20252+⋯+22025C20252025 除以 7 所得的余数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
6. 已知 sinα−π3+sinα=1 ,则 sinα−π6=
A. 12 B. 22 C. 33 D. 23
7. 已知 a,b,c 为两两不相等的正数，设函数 fx=ax+bx−cx ，则
A. fx 没有零点 B. fx 有唯一零点
C. fx 至多有一个零点 D. fx 至少有一个零点
8. 将两个球放入棱长为 1 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为
A. π6 B. 9−53π4 C. 9−53π3 D. 9−53π2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分。
9. 已知一组数据 a1,a2,a3,a4,a5 的平均数为 5 ，方差为 2，则该组数据的
A. 极差可能为 1 B. 众数可能为 5
C. 中位数可能为 5 D. 第 25% 分位数可能为 3
10. 高斯函数 fx=x 又称为下取整函数. x 表示不超过 x 的最大整数,比如 −1.1=−2,1.1=1 . 设 gx=sinx+12sin2x,hx=gx ,则
A. hx 是奇函数 B. hx 是周期函数
C. hx 的值域为 {−1,0,1} D. 方程 hx=x 有且仅有 2 个实数根
11. 已知 P 是椭圆 C:x2−2xy+2y2=4 上任意一点， A1A2,B1B2 分别为 C 的长轴、 短轴. 若 O 为坐标原点,直线 l:y=x+2 ,则
A. O 为 C 的对称中心 B. l 与 C 有两个公共点
C. P 到 l 的距离的最大值为 22 D. 四边形 A1B1A2B2 的面积为 8
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若 fx=xex−ae−x 为偶函数，则实数 a 的值为_____.
13. 已知点 P,Q 分别在曲线 y2=2x 和 x−22+y2=1 上运动，则 PQ 的最小值为_____.
14. 已知 A,B,C 为集合 M={1,2,⋯,n}n∈N∗ 的非空子集，满足:
① A∩B=A∩C=B∩C=⌀, A∪B∪C=M ；
② x∈M∣x=3k,k∈N∗⊆A,B 中元素均为奇数， C 中元素均为偶数；
③ A,B,C 中所有元素的和分别记为 S1,S2,S3 ，且 S1=S2=S3 .
则正整数 n 的最小值为_____。
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 b=6,c=2,B=C+π3 .
(1)求 tanC 的值；
(2)求 △ABC 的面积.
16. (15分)
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AC=BC=CC1, A1B=62A1C .

(1)证明: AC1⊥A1B ；
(2)求平面 A1BC1 与平面 ABC1 夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 fx=x+1x+1 .
(1)求曲线 y=fx 在点 −1,f−1 处的切线方程；
(2)关于 x 的方程 fx−kx−b=0k,b∈R 有三个实根 x1,x2,x3 , 且 x1+x2+x3=0 ,求 b 的取值范围.
18.(17分)
甲乙两人玩游戏,甲有标号为 1,2,3,⋯,nn≥1 的 n 张卡片,乙有标号为1,2,3, ⋯,n,n+1 的 n+1 张卡片. 规则如下: 甲乙交替从对方手中抽取一张卡片,甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃， 否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜， 游戏结束.
(1)已知 n=1 ，记 X 为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数 k ， 求 PX=k ,并根据 EX=k=1∞kPX=k=limm→∞k=1mkPX=k ,求 EX .
(2)记甲有 n 张卡片，乙有 n+1 张卡片时，甲获胜的概率为 pn 。
(i) 求 p1 ; (ii) 求 pn .
19.(17分)
已知 P1 为双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 右支上一点， O 为坐标原点，曲线 E 在 P1 处的切线 l1 与 E 的两条渐近线分别交于 M1,N1 两点 M1 位于第一象限),当 P1 的坐标为 4,0 时, △OM1N1 的面积为 4 .
(1)求 E 的方程；
(2)记线段 OP1 的中点为 P0 ，过 P0 作直线 l0//l1 ，交两条渐近线于 M0 ， N0 两点
( M0 位于第一象限)，记 △P1M0N0 的面积 S1 .
(i) 证明: S1 为定值;
(ii) 过 M1 作渐近线的平行线交直线 OP1 于点 P2 ，过 P2 作直线 l2//l1 ，交两条渐近线于 M2 ， N2 两点( M2 位于第一象限)；过 M2 作渐近线的平行线交直线 OP1 于点 P3 ，过 P3 作直线 l3//l2 ，交两条渐近线于 M3 ， N3 两点( M3 位于第一象限)，依此类推,过 Ml 作渐近线的平行线交直线 OPl 于点 Pl+1 ,过 Pl+1 作直线 ll+1//ll ,交两条渐近线于 Ml+1,Nl+1 两点 Ml+1 位于第一象限 ) ; 记 △PlMl−1Nl−1 的面积为 Sli≥1,i∈N∗ . 证明: i=1n1Si0,b>0 上一点 x0,y0 的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1 .
高三年级 3 月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 1:13.3−1:14.8 .
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1)因为 b=6,c=2 ，所以由正弦定理得 sinB=3sinC . 2 分因为 B=C+π3 ,所以 sinC+π3=3sinC ,
所以 12sinC+32csC=3sinC , 4 分
所以 32csC=52sinC ,所以 tanC=35 . 6 分
(2)因为 tanC=35 ，所以 sinC=2114,csC=5714 . 8 分
所以 sinB=32114,csB=csC+π3=12csC−32sinC=714 .
所以 sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC=437 , 11 分
所以 S△ABC=12bcsinA=12×6×2×437=2437 . 所以 △ABC 的面积为 2437 . 13 分
16.
(1)不妨设 AC=BC=CC1=1 ，则 A1C=2,A1B=3 ，
所以 A1B2=A1C2+BC2 ,所以 BC⊥A1C : 1 分
因为 ABC−A1B1C1 为直三棱柱,所以 CC1⊥ 平面 ABC ,
BC⊂ 平面 ABC ,所以 CC1⊥BC :
又 A1C∩CC1=C ,所以 BC⊥ 平面 ACC1A1 : 3 分
因为 AC1⊂ 平面 ACC1A1 ,所以 BC⊥AC1 .
因为 ACC1A1 为正方形,所以 AC1⊥A1C ,
又 A1C∩BC=C ,所以 AC1⊥ 平面 A1CB , 6 分
因为 A1B⊂ 平面 A1CB ,所以 AC1⊥A1B . 7 分
(2)以 C 为坐标原点， CA,CB,CC1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
则 A1,0,0,B0,1,0,C10,0,1,A11,0,1 ,
所以 AB=−1,1,0,BC1=0,−1,1,A1C1=−1,0,0 . 8 分

设 m=x1,y1,z1 分别为平面 A1BC1 的法向量,
则 BC1⋅m=0A1C1⋅m=0 ,即 −y1+z1=0−x1=0 ,取 y1=1 ,则 z1=1 ,
所以 m=0,1,1 : 10 分
设 n=x2,y2,z2 分别为平面 ABC1 的法向量,
则 BC1⋅n=0AB⋅n=0 ,即 −y2+z2=0−x2+y2=0 ,取 y2=1 ,则 x2=z2=1 ,
所以 n=1,1,1 : 12 分
所以 cs=m⋅nmn=63 , 所以平面 A1BC1 与平面 ABC1 夹角的余弦值为 63 . 15 分
17.
(1)当 x