山东省青岛市平度市2025届高考模拟检测（一）数学试卷（解析版）

这是一份山东省青岛市平度市2025届高考模拟检测（一）数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
故选：C.
2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知，
则，
即复数的虚部为，
故选：C.
3. 设一个球的表面积为，它的内接正方体的表面积为，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为1，所以正方体的表面积为，
正方体的体对角线即为正方体外接球的直径，
设外接球的半径为，则，即，
所以球的表面积，
所以．
故选：B．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得,，
若点三点共线，则点不能构成三角形,
即，解得：，
所以值为.
故选：B.
6. 已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为数列是正奇数数列，
对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；
当为偶数时，设，则，为偶数，
所以，由数列的函数特性知为递减数列，
又，
所以，
故选：C．
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
由椭圆定义得，故，
∵，，∴，
∴与相似，
∴，即，
整理得，故，解得，
由得，，即椭圆的离心率为.
故选：B.
8. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】A
【解析】由为偶函数，得，即，则，
因此，即，则，
于是，函数是周期为4的周期函数，
由，得，因此，
所以．
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为了研究与的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（ ）
A.
B. 当时的残差为
C. 样本数据的％分位数为0.8
D. 去掉样本点后，与的样本相关系数不变
【答案】ABD
【解析】由题，
所以，故A选项正确；
由A，当时，，
所以时的残差为，所以B选项正确；
因为，所以样本数据的％分位数为，C选项错误；
去掉样本点后，而，
由于，
所以去掉样本点后，与的样本相关系数不变，故D正确.
故选：ABD
10. 抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（ ）
A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条
B. 当的面积为时，
C. 为直角三角形
D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】抛物线的焦点为，准线为
因点为上一点，且，由抛物线定义可得，
则抛物线方程为：.
对于A，注意到，则点M在抛物线外，如图所示，则过M点可做抛物线的两条切线，此外直线过点M，且与抛物线只有一个公共点，故过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误；
对于B，设直线AB方程为：，将直线AB方程与抛物线联立，可得：
，设，由韦达定理：
，由图可得，
则.
又由抛物线定义可得
，故B正确；
对于C，可得注意到，则
，故为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
对于D，由B，
，则由抛物线定义：
.
当且仅当，即时取等号.故D正确.
故选：BD
11. 已知函数，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位，的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 当时，函数的极大值之和小于
D.
【答案】ACD
【解析】，其中，即，故A正确；
作出的图象，可得．若，只需，对即可，
故，故B错误；
记的极大值为（也是最大值），则，且，则，
即，即，故D正确；
当时，函数的极大值之和
，故C正确；
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设随机变量服从正态分布，若，则____________.
【答案】
【解析】因为且，
所以，解得.
故答案为：
13. 在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为___________.
【答案】
【解析】因为成公差为的等差数列，所以；
因为，由正弦定理可得；
解得，，，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积为，
故答案为：.
14. 有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是________，从第个盒子中取到红球的概率是__________.
【答案】①. ②.
【解析】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），则，，
所以，
则当时，
，
所以，又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．
故答案为：；．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为，其面积.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
解：（1）由已知得，
由正弦定理可得：，
.
（2）由可得，由（1）可得，解得，
，
，
，
，
由余弦定理得：.
16. 如图，在多面体中，，中点为.
（1）求证：四点共面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小.
（1）证明：
连接，由为中点，得，
由，得，而平面，
则平面，同理平面，
又平面与平面有公共直线，
所以四点共面；
（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，
设，
由，得，
则，，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设直线与平面所成角为，
依题意，，即，
平方化简整理得，
而,则，
即，又，则，
所以平面与平面夹角的大小为.
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.
（1）求的方程;
（2）若直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
解：（1）由题知 ，
又 轴时，有代入方程解得，，
则双曲线的方程为： ；
（2）设直线方程为，
，消去得，
则，
所以，
，
因为，
令，则，
得
设，则该函数在上单调递减，则，
故，，即面积的最小值为12.
18. 《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法，可以解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是
（1）若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；
（2）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．
解：（1）因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，所以该卦所表示的二进制数共有个，
分别为、、、、、，
因为这个数中，每个数位都是次和次，
所以这些卦表示的十进制数的和为： ；
（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值有、、，
则，，，
则随机变量的分布列如下表所示：
故.
19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
（1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
（2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值．
解：（1）导数：，
，；
依题意，
，
所以.
（2）构造函数，，由（1）可知，
当时，由，，函数在上单调递增，
对，，即恒成立，因此；
当时，令，，求导得，
而函数在上都单调递增，函数在上单调递增，
因此，函数在上单调递增，
而，，则存在唯一，使得，
当时，，函数在内单调递减，
对任意，，即，不符合题意，
所以实数a的取值范围为．
（3）令函数，求导得，
令，求导得，
令，求导得，
当时，由（2）知，，则，
令，求导得，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
于是，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
又，
函数为偶函数，在内单调递减，因此，
所以函数的最小值为0.1
2
3
4
5
0.5
0.8
1
1.2
1.5