湖北武汉市第二中学2025-2026学年度高一下学期3月月考数学试卷含答案

这是一份湖北武汉市第二中学2025-2026学年度高一下学期3月月考数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 35,−45 ,则 sinα= ( )
A. −45 B. −35 C. 35 D. 45
2. 若向量 AB=1,6,BC=1,−1,CD=m,m+1 ，且 A,C,D 三点共线，则 m= ( )
A. −23 B. 23 C. −32 D. 32
3. 已知平面向量 m=1,−2,n=6,8 ，则 n 在 m 方向上的投影向量坐标为( )
A. 2,−4 B. −2,4
C. −35,−45 D. 35,45
4. 如图,在四边形 ABCD 中, DC=2AB,BE=3EC ,设 DC=a,DA=b ,则 DE 等于 ( )

A. 78a+13b B. 34a+13b
C. 78a+14b D. 34a+14b
5. 计算: 2⋅sin40∘⋅sin80∘cs40∘+cs60∘= ( )
A. −22 B. −12 C. 22 D. 12
6. 已知平面向量 a,b 满足 a=1,b=2 ，且 a−2b⊥a ，则 a−b= ( )
A. 6 B. 5 C. 2 D. 1
7. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0 ，则 △ABC 一定是锐角三角形
B. 若 acsA=bcsB=ccsC ,则 △ABC 一定是等边三角形
C. 若 acsA=bcsB ,则 △ABC 一定是等腰三角形
D. 若 acsB+bcsA=a ,则 △ABC 一定是等腰三角形
10. 函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0 ,
则 C 为锐角,但是 A,B 两角无法判断其是否为锐角,
如当 a=4,b=2,c=3 时,
a2+b2−c2>0,b2+c2−a2=−30 ,得 sinC>64 ,
所以 sinC=6+24 .
[方法三]余弦定理
令 ca=t . 由 b=2c−2a,b+c>a ,得 t>2+13 .
将 b=2c−2a 代入 b2+c2−a2=bc 中,可得 3c2−32ac+a2=0 ,
即 3t2−32t+1=0 ,解得 t=32+66 或 t=32−66 (舍去).
所以 t=ca=sinCsinA=32+66 ,
从而 sinC=6+24 .
[方法四]射影定理
因为 2c=2a+b ,所以 c=22a+12b=acs45∘+bcs60∘ ,
由射影定理得 ∠C=180∘−45∘+60∘=75∘ ,
所以 sinC=sin75∘=2+64 .
16. (I) {x∣x≠π2+kπ,k∈Z},π ; (II) 在区间 −π12,π4 上单调递增,在区间 −π4,−π12 上单调递减.
(I) 先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数: fx=2sin2x−π3 ,再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期; (II) 根据
(I) 的结论,研究函数 fx 在区间 −π4,π4 上单调性.
试题解析: (I) fx 的定义域为 x x≠π2+kπ,k∈Z .
fx=4tanxcsxcsx−π3−3=4sinxcsx−π3−3
=4sinx12csx+32sinx−3=2sinxcsx+23sin2x−3
=sin2x+31−cs2x−3=sin2x−3cs2x=2sin2x−π3 .
所以, fx 的最小正周期 T=2π2=π .
(II) 令 z=2x−π3 ,函数 y=2sinz 的单调递增区间是 −π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z . 由 −π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ ,得 −π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z . 设 A=−π4,π4,B=x −π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z ,易知 A∩B=−π12,π4 . 所以,当 x∈−π4,π4 时, fx 在区间 −π12,π4 上单调递增,在区间 −π4,−π12 上单调递减.
17. (1) CD=13CA+23CB,CP=15CA+25CB
(2)1
(1)因为 AD=2DB ，所以 CD−CA=2CB−CD ，即 CD=13CA+23CB ，
设 CP=λCD=λ3CA+2λ3CB ，所以 CP=λ3CA+4λ3CE ，
又 P、A、E 三点共线,所以 λ3+4λ3=1 ,解得 λ=35 ,所以 CP=15CA+25CB .
(2)因为 DE=DB+BE=13AB+12BC=13AB+12AC−AB=12AC−16AB ，
设 AP=tAE=t2AC+AB=t2AC+t2AB=t2AC+3t4AD ,
又 P、C、D 三点共线,所以 t2+3t4=1 ,解得 t=45 ,所以 AP=25AC+25AB ,
所以 AP⋅DE=12AC−16AB⋅25AC+25AB=15AC2−115AB2+215AC⋅AB ,
又 A=π3,c=3,AP⋅DE=−15 ，即 15b2−115×32+215×3b×12=−15 ，
即 b2+b−2=0 ,解得 b=1 或 b=−2 (舍去).
18.(1) m=2 ；(2) 726≤m