湖北省武汉市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D. i
2. 已知事件 A，B 相互独立，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若 ， ，则 等于（ ）
A. 5 B. －5 C. 7 D. －1
4. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重
心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知 的顶点 ， ，
，则 的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 为等比数列 的前 n 项和， ， ，则 （ ）．
A. 30 B. C. D. 30 或
6. 若存在 ，使得不等式 成立，则实数 m 的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
7. 数列 满足 ， ，则 的值为（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 1
8. 已知函数 ，若对于任意的 使得不等式 成立，则实数 的
取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
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9. 已知数列 前 项和 ，则（ ）
A. B.
C. 有最小值 D. 数列 不 等差数列
10. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，
则下列判断中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 在 上单调递减，则 的最大值为 1
B 当 时，
C. 当 时，
D. 存在直线 ，使得 与 的图象有 4 个交点
三、填空题
12. 设函数 的导数为 ，若 ，则 ______.
13. 设动点 在棱长为 1 的正方体 的对角线 上，记 ，当 为锐角时，
的取值范围是__________．
14. 已知函数 若对于任意的 都有 成立，则实数 a 的取值范围为
______.
四、解答题
15. 已知函数 .
（1）求函数 的导函数 ；
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（2）求过点 且与曲线 相切的直线方程.
16. 记数列{an}的前 n 项积为 Tn，且 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 n 项和 Sn．
17. 如图 1 所示，在等腰梯形 ， ， ，垂足为 ， ， ，将
沿 折起到 的位置，如图 2 所示，点 为棱 上一个动点．
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ；
（i）求直线 与平面 所成角 正弦值；
（ii）在棱 上是否存在点 ，使 平面 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
18. 已知椭圆 ，点 ， 分别是椭圆 短轴的端点，椭圆 的焦点 也是抛物
线 的焦点，且 .过点 且斜率不为 0 的直线交椭圆 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2） 轴上是否存在定点 ，使得 ?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点 是定直线 上任意一点，求证：三条直线 ， ， 的斜率成等差数列.
19. 已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数.
（1）当 时，求函数 单调区间及极值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
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