武汉二中2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷及答案（word版+pdf版）

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1. 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 35,−45 ,则 sinα= ( )
A. −45 B. −35 C. 35 D. 45
2. 若向量 AB=1,6,BC=1,−1,CD=m,m+1 ，且 A,C,D 三点共线，则 m= ( )
A. −23 B. 23 C. −32 D. 32
3. 已知平面向量 m=1,−2,n=6,8 ，则 n 在 m 方向上的投影向量坐标为( )
A. 2,−4 B. −2,4 C. −35,−45 D. 35,45
4. 如图,在四边形 ABCD 中, DC=2AB,BE=3EC ,设 DC=a,DA=b ,则 DE 等于( )
A. 78a+13bB. 34a+13b
C. 78a+14bD. 34a+14b
5. 计算: 2⋅sin40∘⋅sin80∘cs40∘+cs60∘= ( )
A. −22 B. −12 C. 22 D. 12
6. 已知平面向量 a,b 满足 a=1,b=2 ，且 a−2b⊥a ，则 a−b= ()
A. 6 B. 5 C. 2 D. 1
7. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0 ,则 △ABC 一定是锐角三角形
B. 若 acsA=bcsB=ccsC ，则 △ABC 一定是等边三角形
C. 若 acsA=bcsB ，则 △ABC 一定是等腰三角形
D. 若 acsB+bcsA=a ,则 △ABC 一定是等腰三角形
10. 函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0 ,解得 C 为锐角,并不能说明 △ABC 一定是锐角三角形,故 A 错误;
对于 B : 由于 acsA=bcsB=ccsC ,利用正弦定理: sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC ,整理得 tanA=tanB=tanC ,利用正切
函数的性质,所以 A=B=C ,所以 △ABC 为等边三角形,故 B 正确;
对于 C: 若 acsA=bcsB ,利用正弦定理 sin2A=sin2B ,所以 A+B=π2 或 A=B ,故 △ABC 为等腰三角形和直角三角形,故 C 错误;
对于 D : 若 acsB+bcsA=a ,利用正弦定理: sinAcsB+sinBcsA=sinA ,所以 sinA+B=sinC=sinA , 故 A=C ,所以 △ABC 为等腰三角形,故 D 正确;
故选: BD .
直接利用三角函数的关系式的变换,以及正弦定理余弦定理的应用判断 A、B、C、D 的结论.
本题考查的知识要点: 三角函数的关系式的变换, 正弦定理余弦定理, 主要考查学生的运算能力和数学思维能力, 属于中档题.
10.【答案】 AD
【解析】解: 由 fx=Asinωx+φ 的部分图象知, A=2 ,最小正周期为 T=4×7π12−π3=π ,所以 ω=2πT=2,
所以 fπ3=2sin2×π3+φ=0 ,即 2π3+φ=kπ ,解得 φ=−2π3+kπ,k∈Z .
因为 φ0 ,
可得 m=2sinAcsA+2=4sinA2csA2cs2A2−sin2A2+2cs2A2+2sin2A2=4tanA2tan2A2+3=4tanA2+3tanA2≤42tanA2⋅3tanA2=233 .
当且仅当 tanA2=3tanA2 ,即 tanA2=3 ,即 A2=π3,A=2π3 时取等号,
所以 m 的最大值为 233 .
故答案为: 233 .
由 O 为 △ABC 的外心,取 AB 的中点 D ,两边同乘 AB ,再由正弦定理整理可得 m=2sinAcsA+2 ,由二倍角公式及基本不等式可得 m 的最大值.
本题考查向量的数量积的运算性质的应用及三角形的外心的性质的应用, 属于中档题.
15.【答案】解: (1) ∵△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,
又 sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC ,
则 sin2B+sin2C−2sinBsinC=sin2A−sinBsinC ,
∴ 由正弦定理得: b2+c2−a2=bc ，
∴csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12 ,
∵0