初中数学20.1 勾股定理及其应用第2课时教学设计

这是一份初中数学20.1 勾股定理及其应用第2课时教学设计，共8页。教案主要包含了将实际问题转化为直角三角形模型等内容，欢迎下载使用。
第二课时《20.1 勾股定理及其应用（第2课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课时是勾股定理的应用课，是对上节课勾股定理内容的深化与延伸，在整个单元教学中起到承上启下的作用．它承接了勾股定理的核心知识，将抽象的数学定理与现实生活紧密结合，帮助学生实现从“理解定理”到“应用定理”的跨越．通过解决实际问题，学生能深刻体会勾股定理在测量、建筑、航海等领域的实用价值，强化“数学源于生活、服务于生活”的认知．同时，本课时通过将实际问题转化为直角三角形模型，培养学生的数学建模思想和转化能力，为后续学习解直角三角形、几何综合应用等内容奠定实践基础，也为提升学生的数学核心素养提供了重要载体．
学习者分析
八下学生已掌握勾股定理的基本内容，能进行简单的直角三角形边长计算，具备一定的几何推理和运算能力，这为本课时的应用学习提供了知识基础．但学生在将实际问题抽象为几何模型时，往往难以快速识别其中的直角三角形和已知、未知条件，对“建模”过程存在思维障碍．同时，部分学生对定理的适用条件重视不足，容易忽略“直角”这一关键前提．不过，学生对解决生活中的实际问题兴趣较高，乐于通过合作探究完成任务，这一特点可有效驱动课堂学习．
教学目标
1．能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决．
2．提升从实际情境中抽象出几何问题的能力．
教学重点
能将实际问题转化为直角三角形模型，并运用勾股定理进行求解．
教学难点
在复杂实际情境中，准确识别直角三角形，建立合理的几何模型．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决．
2．提升从实际情境中抽象出几何问题的能力．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
问题：说一说勾股定理的内容？
预设：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
导言：勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题．
学生活动2：
学生积极回答问题
活动意图说明：
通过回顾勾股定理内容，这探究勾股定理的应用做好铺垫
环节三：新知讲解
教师活动3：
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度．求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过．
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5．
AC＝5≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．
归纳：应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形．
例2：如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗？
解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动D，顶端由点A下滑到点C．
可以看出，AC＝AO－OC．
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76．
OA＝2.4．
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4．
OC＝2，
所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4．
因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m．
归纳：应用勾股定理解决实际问题时，应重视对实际问题题意的正确理解，对结论要进行仔细验证．
学生活动3：
学生小组合作探究，班内汇报交流后认真听老师点评和讲解
活动意图说明：
从实际问题中找出关键数据，建立直角三角形模型，从而探索出应用勾股定理解决实际问题的方法．
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：20.1勾股定理及其应用（第2课时）
一、将实际问题转化为直角三角形模型
二、若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ）
A．12米B．11米C．10米D．9米
答案：A
2．如图，一棵垂直于地面且高为10m的大树被台风刮断，AC=5m，则折断处与地面的距离BC的长为______m．
答案：154
3．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
解：设水深为x尺，则芦苇长为x+1尺，
根据勾股定理得： x2+1022=x+12，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：芦苇的长度为13尺．
选做题：
4．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点Q, R处，此时两船的距离是（ ）
A．32海里B．42海里C．40海里D．30海里
答案：D
【综合拓展类练习】
5．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC．已知直角边BC长5m，斜边AB的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2m．那么购买这种地毯至少需要多少元？
解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5m，AB=13m
由勾股定理得，AC=AB2−BC2=132−52=12m，
在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC=12+5=17m，
∵楼梯宽为2m，
∴需要铺地毯的面积为17×2=34m2，
∵每平方米的地毯售价是150元，
∴购买这种地毯至少需要的费用为34×150=5100（元）．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．如图，小宇将2.6米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．1.5米B．1.6米C．2米D．2.4米
答案：D
2．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC=3m）时，踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是______．
答案：5m
3．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为2.3m的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高2m、宽1.5m的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由．
解：这个背景板能搬进客厅，理由如下：
由题意得，长方形门框的对角线长为1.52+22=2.5m，
∵2.5>2.3，
∴这个背景板能搬进客厅．
选做题：
4．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程AC=_______海里．
答案：15
【综合拓展类作业】
5．如图，一根直立的旗杆高9m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为3m．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方1m的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部5m处是否有被砸到的风险？
解：（1）设AC的长度为xm，则BC的长度为9−xm，
由勾股定理，可得x2+32=9−x2，
解得x=4．
答：旗杆在距离地面4m处折断．
（2）∵AC=4m，PC=1m，
∴AP=3m，
∴PB'=9−3=6m，
由勾股定理，可得AB'=PB'2−AP2=62−32=33m，
∵33m>5m，
∴行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险．
答：行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险．
教学反思
本课时通过贴近生活的实例引导学生应用勾股定理，有效激发了学习兴趣，但在建模环节，部分学生对如何从文字描述中提取几何条件存在困难，后续需加强审题训练．同时，少数学生在计算时忽略直角前提，出现误用定理的情况，需在后续练习中强化提醒。整体来看，学生参与度较高，但个体差异明显，课后需通过分层作业进行针对性辅导，以巩固建模能力和定理应用．