初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.7 正方形学案

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.7 正方形学案，共10页。学案主要包含了复习回顾，新知探究，例题精讲，课堂练习，课堂小结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系。
2.理解并应用正方形的边、角、对角线及对称性相关性质，能解决几何证明与计算问题。
3.掌握正方形的判定思路，能选择合适方法证明一个四边形是正方形。
4.体会特殊平行四边形之间的内在联系，培养知识综合运用的能力。
学习重点：
正方形的性质应用与判定思路掌握。
学习难点：
理解正方形与矩形、菱形的从属关系，灵活运用判定思路证明正方形。
► 教学过程
一、复习回顾
回顾：什么是正方形？正方形是平行四边形吗？是矩形吗？是菱形吗？
二、新知探究
探究一：正方形的性质
教材第40页
【观察】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义可得下图，你能从中得出正方形的性质吗？
【归纳】
正方形的性质1：
正方形的性质2：
【做一做】请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在图中适当的空白处填上它们的名称.
【议一议】（1）正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
（2）正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？
例1如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F.
求证：DE=DF.
探究二：正方形的判定
教材第41页
【说一说】如何判断一个四边形是正方形？
【归纳】正方形的判定定理1：有一组邻边相等的__________是正方形.
正方形的判定定理2：有一个角是直角的__________是正方形.
三、例题精讲
例2如图，已知点A，B，C，D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD.
求证：四边形ABCD是正方形.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.矩形、正方形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线长度相等D．一组对角线平分一组对角
2.如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接BD，DE，则∠BDE=（ ）
A．37.5°B．35°C．30°D．25°
3.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，过线段AC上的两点分别作BC和CD的垂线，则阴影部分的面积为（ ）cm2．
A．4B．8C．12D．16
选做题
4.将对角线分别为5cm和8cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 cm．
5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= ．
6.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE=3．则点P到直线AB的距离为 ．
【综合拓展类作业】
7.如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE=DF．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么?
六、作业布置
1.在▱ABCD中，有以下四个条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC⊥BD；④AC=BD.现从中任选两个条件作为一个组合，其中不能推出四边形ABCD是正方形的是 ( )
A．①②B．①④C．②④D．③④
2.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．30cmC．40cmD．202cm
3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG的点B、C、E在同一条直线上，点M为AF的中点，连接DM、CM、CF，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段DM的长（ ）
A．CFB．CMC．DGD．AF
4.如图所示，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断四边形AFCE的形状并说明理由．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：A、只有正方形和菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，不符合题意；
B、矩形、正方形、菱形的对角线都互相平分，符合题意；
C、只有矩形和正方形的对角线长度相等，菱形的对角线长度不一定相等，不符合题意；
D、只有正方形和菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意；
故选；B．
2.【答案】C
【解析】解：∵点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，BD是正方形的对角线，
∴∠DAE=90°−60°=30°,AD=AE=AB，∠ADB=45°，
∴∠ADE=12180°−∠DAE=75°，
∴∠BDE=∠ADE−∠ADB=75°−45°=30°，
故答案为：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4 cm，
根据正方形的轴对称性得：
S阴影=12S正方形ABCD=12×4×4=8cm2，
故答案为：B．
4.【答案】25
【解析】解：∵菱形的对角线分别为5cm和8cm，
∴菱形的面积S=12×5×8=20cm2，
∴正方形的边长是20=25cm．
故答案为：25。
5.【答案】15°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，∠BAE=150°，
∴∠AEB=12(180°−150°)=15°，
故答案为：15°．
6.【答案】3
【解析】解：如图所示，过点P作PQ⊥AB于Q，
∵点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E
∴四边形AEPQ是矩形，∠EAP=45°
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE=EP
∴四边形AEPQ是正方形，
∴PQ=EP=3，
即点P到直线AB的距离为3
故答案为：3．
7.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBC=∠FCD=90°，AB=BC=CD，
∵E是边AB的中点，F是边BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE=CF，
在△CEB和△DFC中，
BC=CD∠B=∠DCFBE=CF，
∴△CEB≌△DFC（SAS），
∴CE=DF．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：A、①AB=BC（平行四边形邻边相等，判定为菱形）+③AC⊥BD（菱形的固有性质，无法新增判定条件），仅能判定是菱形，不能判定是正方形，A符合题意；
B、①AB=BC（判定为菱形）+④AC=BD（菱形对角线相等，判定为正方形），可推出是正方形，B不符合题意；
C、②∠BAD=90°（平行四边形有一个直角，判定为矩形）+③AC⊥BD（矩形对角线垂直，判定为正方形），可推出是正方形，C不符合题意；
D、②∠BAD=90°（判定为矩形）+④AC=BD（矩形的固有性质，无法新增判定条件），仅能判定是矩形，不能判定是正方形，D符合题意；
故答案为：C.
2.【答案】D
【解析】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝2AB＝202cm；
故答案为：D．
3.【答案】B
【解析】解：连接GM并延长交AD于H，如下图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，B、C、E三点在同一直线上，
∴AD∥GF，∠CDA=90°，AD=CD，CG=GF，
∴∠MAH=∠MFG，
∵点M为AF的中点，
∴AM=FM，
在△AHM和△FGM中，
∠MAH=∠MFGAM=FM∠AMH=∠FMG，
∴△AHM≌△FGMASA，
∴HM=GM，AH=FG，
∴M是HG的中点，
∴在Rt△HDG中，可有DM=12HG，
∵AD=CD，CG=GF=AH，
∴AD−AH=CD−CG，即DG=DH，
即△DGH为等腰直角三角形，
所以知道DG的长度，可求出GH，一定能求出线段DM的长．
故答案为：C．
4．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB=45°，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDFSAS
结论：四边形AFCE是菱形
理由：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥EF，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，AE=CF，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形