广东省湛江市高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省湛江市高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算得解.
【详解】抛物线的准线方程为，依题意，，
所以.
故选：A
2. 圆的圆心到直线的距离为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解.
【详解】圆的圆心坐标为，
所以所求距离为.
故选：D
3. 已知直线与直线平行，则（ ）
A. B. 或0C. 1D. 1或0
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行关系列式求解，并代入检验即可.
【详解】若直线与直线平行，
则，解得或，
若，直线与直线平行，符合题意；
若，直线与直线平行，符合题意；
综上所述：或0.
故选：B.
4. 若，，则（ ）
A. B. 4C. D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示、模的坐标表示计算得解.
【详解】向量，，则，
所以.
故选：A
5. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
由，得，又，则，
而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离，
解得，所以的取值范围是.
故选：C
6. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得.
【详解】在平行六面体中，，，
则，
而，因此，
所以.
故选：B
7. 类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可.
【详解】设曲线上的点为，且，
可得，
其中，
所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为.
故选：D.
8. 在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，由，得，
则，
设平面法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
所以平面与平面夹角的余弦值.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】对于A，由为的中点，则，
在直四棱柱中，易知，
所以，故A正确；
对于B，由为的中点，则，
在直四棱柱中，易知，
，故B错误；
对于C，由题意可得与的夹角为，且，
则
，故C正确；
对于D，
，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知直线与圆，则（ ）
A. 直线的方程可转化为，即直线过定点．
B. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为
C. 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则
D. 若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出直线过的定点判断A；利用圆心到直线的距离求解判断B；利用点到直线距离为1求出值判断C；求出的表达式，进而求出判断D.
【详解】对于A，由，可得恒成立，直线过定点，A正确；
圆的圆心，半径，
对于B，点到直线的距离，解得，B正确；
对于C，由圆上恰有3个点到直线的距离为1，得点到直线的距离，解得，C正确；
对于D，，而，
则，D错误.
故选：ABC
11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（ ）
A. 椭圆的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为
D. 椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意求出椭圆及双曲线的方程，再由弦长公式判断C项，再由直线与椭圆相切来判断D项．
【详解】解：
如图所示：
由，得，
则椭圆的方程为：，故A项正确；
双曲线的渐近线方程为：，
则，得，
则双曲线的方程为：，
得双曲线的离心率为：，故B项错误；
对于C项，的右顶点为，
由，得，
得被双曲线截得的弦长为：，故C项正确；
对于D项，直线的方程为：，
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：，
由，消去得，，
由，
得，故D项正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ，，函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解.
【详解】设点，和直线，
，到的距离分别为，，易知，
如图，

显然.
故答案为：
13. 已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解.
【详解】由四点共面，得，
而向量，，，
则，又不共面，
因此，解得，
所以.
故答案为：
14. 由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求________．
【答案】2
【解析】
【分析】由双曲线的光学性质结合，可得垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求出.
【详解】由双曲线的光学性质知，平分，延长与的延长线交于点E，
由，得为的中点，又是中点，
所以.
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设，直线，直线．
（1）若直线与的距离为，求的值．
（2）若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值．
【答案】（1）或；
（2）4.
【解析】
【分析】（1）利用平行线间距离公式列式求出
（2）求出直线的横纵截距，由面积列式求出.
【小问1详解】
当时，直线与直线平行，
则，解得或，
所以或.
【小问2详解】
依题意，，直线交轴于，交轴于，
则，所以.
16. 已知圆C的方程.
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m 值.
【答案】（1）；
（2）4.
【解析】
【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，列不等式求参数范围.
（2）写出圆的圆心和半径，根据弦长、弦心距及半径关系列方程求参数.
【小问1详解】
方程可化为，
因为此方程表示圆，所以，即.
故m的取值范围是.
【小问2详解】
因为圆的方程可化为，
所以圆心为，半径，
圆心到直线l:的距离为，
由于，故，又，
所以，解得.
17. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）求的值．
（2）求面积最大值．
【答案】（1）4； （2）.
【解析】
【分析】（1）设，利用直线的点斜式中求出和点坐标即可求出.
（2）由（1）中点，利用点到直线距离公式表示出三角形面积，借助三角函数性质求出最大面积.
【小问1详解】
依题意，，设，，
直线方程为：，令，得
直线方程为：，令，得
，
所以
.
【小问2详解】
依题意，直线的方程为：，且，
到直线距离，
则的面积，
因此当，即，时，，
所以面积最大值为.
18. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）．
（1）若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长．
（2）若与平面所成的角为，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合面面平行的性质作出截面，再求出其周长.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法列式，借助基本不等式求出范围.
小问1详解】
令平面交棱于，连接，
则四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，

由平面平面，且平面平面,平面平面,
得，而，且方向相同，即，
则，，，
，，
所以四边形的周长为.
【小问2详解】
在棱长为2的正方体中，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则,
则,
设平面的法向量n=x,y,z，则，令，得，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，又，
所以的取值范围是.
19. 已知抛物线的方程，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别为曲线在第一象限和第四象限的交点．
（1）求的长度．
（2）求直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值．
（3）求证：阴影区域面积不大于32．
【答案】（1）8； （2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）联立抛物线方程，求出点、的坐标，进而求出.
（2）分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可.
（3）求出抛物线在点处的切线，求出该切线与轴及直线所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证.
【小问1详解】
抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，
方程分别为、、，
由，解得或，则，由对称性可得，
所以.
【小问2详解】
设直线与抛物线相切于点，
由消去得，由，得，，切点，
设直线与抛物线相切于点，
由消去得，由，得，，切点，
直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为.
【小问3详解】
抛物线，即，求导得，
则抛物线在点处的切线斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，因此在第一象限的半个花瓣的面积必小于，
所以原图中的阴影部分面积必小于，即不大于32.
【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.