广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 过和两点的直线的斜率是， 若圆被直线平分，则， 定义“等方差数列”等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过和两点的直线的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】根据斜率公式求得所给直线的斜率.
故选：A
2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
【答案】D
【解析】依题意，
因为，所以，
因线性回归方程为一定过点，
所以，
所以.
故选：D.
3. 若圆被直线平分，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】由题意得圆心在直线上，
则，
解得.
故选：D.
4. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 在处的切线的斜率大于0
B. 是函数的极值
C. 在区间上不单调
D. 是函数的最小值
【答案】A
【解析】由图象可知：当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则为的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误；
对于A：可知，即在处的切线的斜率大于0，故A正确；
故选：A.
5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）
参考数据及公式如下：
A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D. 根据小概率的独立性检验认为两者无关
【答案】B
【解析】由数表知，，而，
所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关．
故选：B
6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ）
A. 20B. 25C. 225D. 450
【答案】C
【解析】甲和乙的选择方法分别有种方法，
所以甲和乙不同的选择方法有种.故选：C
7. 如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
故，
，
则.
故选：C.
8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】依题意，，即是公差为2的等差数列，而，
于是，即，
则
，
所以数列的前24项和为：.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比为，前项和为,若,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】依题，，解得故A错误，B正确；
则，，故C错误，D正确.
故选：BD.
10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；
对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，
所以，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点E，使得平面
B. 当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C. 点E到直线的距离的最小值为
D. 当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
【答案】ABD
【解析】对A选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图：
则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，
设,2,，
所以，，，
假设存在点，使得平面，
则，，
解得，
所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；
对于B，点E为线段的中点时，,,,
设平面的法向量为，
则，取，
则，
,故点到平面的距离为，故B正确，
对C选项,,2,，,
点到直线的距离为
，
故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误；
对D选项，点E为线段的中点时，,,,
设平面的法向量为，则，取，
则，
设,,,
设平面的法向量为，则，
取，则，
若存在点，使得平面与平面所成角为，
则，化简得，
解得或，由于，所以，故D正确，
故选：ABD．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 展开式中项的系数为________.
【答案】30
【解析】展开式的通项表达式为，
当时，，.
故答案为:30.
13. 已知，若为奇函数，则______.
【答案】0
【解析】，
因为为奇函数，
所以，即，
化简可得，
因为，
所以.
故答案为：0.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，,过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,若,，则C的离心率为______．
【答案】
【解析】在中，设，
由正弦定理得，则，
所以由双曲线的定义可知，，
故，
在中，，
解得，
所以在中，，，，
又，解得，
所以离心率．
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
解：（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
（1）求证: 平面平面；
（2）当为中点时， 求二面角的正弦值．
解：（1）底面是正方形，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以，即二面角的正弦值为.
17. 已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；
（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
解：（1）因为点M（1，m）在椭圆上，
所以，
因为m>0，所以，
因为a＝2，b＝1，所以，所以，，
所以
（2）因为点M在椭圆上，
所以－2≤x0≤2，
由余弦定理得
cs∠F1MF2＝＝，
因为∠F1MF2是钝角，
所以，
又因为，
所以，
解得，
故横坐标x0的范围为.
18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
解：（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
；
（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
19. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
解：（1）由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，
所以；
（2）当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.喜欢课外阅读
不喜欢课外阅读
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2