2024-2025学年广东省湛江市高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线C:x2=16y的焦点为F，点M(x0,y0)为抛物线C上一点，若|MF|=2y0，则y0=( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2
2.圆x2+y2+2x−4y+3=0的圆心到直线x+y+1=0的距离为( )
A. 2B. 22C. 1D. 2
3.已知直线ax−4y−1=0与直线ax+(a+1)y+4=0平行，则a=( )
A. −5B. −5或0C. 1D. 1或0
4.若a=(−1,2,1)，b=(1,2,−3)，则(a+b)⋅(2a−b)=( )
A. −2B. 4C. −21D. 26
5.已知圆O:x2+y2=1，直线x−y+a=0上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60∘，则a的取值范围( )
A. [−2,2]B. [−∞,2]C. [−2 2,2 2]D. [−2 2,+∞]
6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱BB1，DD1上，且BE=14BB1，DF=13DD1.若EF=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=( )
A. −112B. 112C. 2512D. −16
7.类比椭圆的方程x24+y2=1我们可以得到一个新的曲线方程C:x416+y4=1，曲线C上的点到原点O的距离平方最大值为( )
A. 1B. 2 2C. 15D. 17
8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若B1P=13B1C，则平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值( )
A. 23B. 34C. 25D. 36
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=2π3，E，F分别为C1D1，A1D1的中点，则( )
A. AE=12AB+AD+AA1B. BF=AB+12AD+AA1
C. AB⋅AE=0D. AB⋅BF=−5
10.已知直线l:kx−y+1+2k=0与圆M:(x−2)2+(y−1)2=4，则( )
A. 直线l的方程可转化为k(x+2)+1=y，即直线l过定点P(−2,1)．
B. 若直线l与圆M有公共点，则实数k的取值范围为[− 33, 33]
C. 若圆M上恰有3个点到直线l的距离为1，则k=± 1515
D. 若直线l与圆M相交于A，B两点，则MA·MB的取值范围为[−4,4]
11.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，双曲线C2:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的顶点与椭圆C1的焦点重合，一条渐近线与椭圆C1的一个交点为A( 3, 32)，则( )
A. 椭圆C1的方程为x24+y23=1
B. 双曲线C2的离心率为 5
C. 过椭圆C1右顶点且垂直于x轴的直线被双曲线C2截得的弦长为 3
D. 椭圆C1上到直线OA(O为原点)距离最大的点有2个。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.∀x，y∈R，函数f(x,y)= (x−1)2+(y−4)2+15|3x+4y−5|的最小值为
13.已知{a,b,c}是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=
14.由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1、F2分别为双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点，过C右支上一点A(x0,y0)(x0>2)作双曲线C的切线交x轴于点M，交y轴于点N，过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，O为原点，求|OH|=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设m∈R，直线l1:2x+y−m=0，直线l2:2x+y−5=0
(1)若直线l1与l2的距离为2 55，求m的值。
(2)若直线l1与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求m的值。
16.(本小题15分)
已知圆C的方程x2+y2−2x−4y+m=0．
(1)求m的取值范围。
(2)若圆C与直线l:x+2y−4=0相交于M，N两点，且|MN|=4 55，求m的值.。
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C的右顶点，B为椭圆C的上顶点，P为椭圆C上与椭圆顶点不重合的动点，直线PA与y轴交于点N，直线PB与x轴交于点M。
(1)求|AM|⋅|BN|的值。
(2)求△PAB面积最大值。
18.(本小题17分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱DD1上的动点(含端点)。
(1)若N是棱DD1的中点，求过A，M，N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1表面所得的截面图形的周长。
(2)若CN与平面AB1C所成的角为θ，求sinθ的取值范围。
19.(本小题17分)
已知抛物线的方程P:x2=4y，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转90∘、180∘、270∘后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，A、B分别为曲线在第一象限和第四象限的交点。
(1)求|AB|的长度。
(2)求直线x+y=t被第一象限封闭图形截的弦长最大值。
(3)求证：阴影区域的面积不大于32。
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.C
6.B
7.D
8.D
9.ACD
10.ABC
11.ACD
12.145
13.−43
14.2
15.解：(1)因为直线l1与l2平行且距离为2 55，所以m≠5，，
所以2 55=|m−5| 22+1，
所以m=3或m=7．
(2)直线l1:2x+y−m=0，
令x=0，则y=m，
令y=0，则x=m2，
因为直线l1与两坐标轴正半轴相交，所以m>0，
由直线l1与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为12×|m|×|m2|=4，
解得m=4或−4，
因为m>0，所以m=4．
16.解：(1)方程x2+y2−2x−4y+m=0，可化为(x−1)2+(y−2)2=5−m，
∵此方程表示圆，
∴5−m>0，即m 33，
综上可知，sinθ∈[ 33, 63].

19.解：(1)由y2=4xx2=4y，可解得，x=0或x=4，即xA=4，代入可得yA=4，
由图象的对称性，可得A(4,4)、B(4,−4)，故|AB|=8；
(2)设直线y=x+m1与抛物线y2=4x相切，
联立y=x+m1y2=4x可得y2−4y+4m1=0，
由Δ=16−16m1=0可得m1=1，且方程y2−4y+4m1=0，
即为y2− 4y+4=0，解得y=2，x=1，此时，切点坐标为(1,2)，
设直线y=x+m2与抛物线x2=4y相切，
联立y=x+m2x2=4y可得x2−4x−4m2=0，
由Δ=16+16m2=0可得m2=−1，
此时方程x2−4x−4m2=0即为x2−4x+4=0，
解得x=2，y=1，此时，切点坐标为(2,1)，
两切点连线的斜率为1−22−1=−1，即切点的连线与直线x+y=t垂直，
故当M(1,2)、N(2,1)时，|MN|取最大值，
且其最大值为|MN|= (1−2)2+(2−1)2= 2；
(3)根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，
故可以先求18部分面积的近似值，如图，抛物线y=14x2，
在点A(4,4)处的切线方程为y=2x−4，
该切线交x轴于点E(2,0)，所以，半个花瓣的面积必小于S△AOE=12×2×4=4，
故原图中的阴影部分面积必小于8S△AOE=8×4=32．