河北省名校协作体2026届高三上学期一模数学试卷（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，结合并集的定义求解即可.
【详解】.
所以或.
故选：B.
2. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对复数化简，再写出
【详解】.
.
故选：A
3. 已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案.
【详解】由图可得，
所以，则.
故选：C
4. 已知函数，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和.
【详解】若，则，因为函数在单调递增，
且，所以方程无解；
若，，则，
得到，即，
整理得，解得（舍）或；
若，因为函数在单调递减，
且，所以方程无解；
综上，，，
所以，.
故选：B.
5. 已知圆，若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】需先将圆方程化为标准形式求圆心和半径，再写出双曲线渐近线方程，利用圆心到渐近线距离等于半径建立方程，求解 a 与 b 关系，最后求得离心率.
【详解】圆 可化为 ，则圆心 ，半径为 ，
因为双曲线 （），所以渐近线为 ，即 ，
因为双曲线的渐近线与圆 相切，所以，
所以，化简得 ，所以，
又因为双曲线中 ，所以离心率.
故选 ：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式，展开整理，可得的值，代入二倍角的正切公式，即可得答案.
【详解】由题意
所以，则，
所以.
故选：A
7. 如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，确定球的球心的位置，列出球的表面积的表达式，根据参数的取值范围即可求得结果.
【详解】因为，所以是直角三角形，其外接圆的圆心为的中点，
所以球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上.
又，所以为四边形内以为直径，以的中点为圆心，2为半径的半圆上一点，
如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
因为球的半径，即，
化简得，
因为，所以，，即，
所以，
而球的表面积为，，
所以，即球的表面积的取值范围为.
故选：D.
8. 已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（ ）
A. 21B. 22C. 23D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由递推公式得到为等差数列，结合累乘法求出，分奇偶求和代入中得到，结合不等式求解即可.
【详解】由可得，，即，
又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以.
当时，，又，也符合，
故.
所以.
当为偶数时，，
当为奇数且时，为偶数，则，
又符合上式，故当为奇数时， .
当为偶数时，，当为奇数时，，
故.
由可得，即，
故满足条件的的最大值为23.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B. 这10个月营业额的平均数为32.5万元
C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D. 这10个月营业额数据第70百分位数为43
【答案】AC
【解析】
【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，将 10 个月的营业额数据求和，再除以 10 得到平均数，与 32.5 万元对比；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算第 70 百分位数进行判断.
【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，
六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，
十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；
对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误；
对于C：前5个月的平均数，
方差；
后5个月的平均数，
方差
因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；
对于D：将10个数据从小到大排序：
因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误.
故选：AC.
10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为，分别过上的点，作的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B.
C. 若直线过点，则直线与的交点为
D. 若直线过点，且，则四边形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义、几何性质及直线与抛物线的位置关系逐项分析判断即可.
【详解】选项A：由抛物线定义可知，，故，
故，即，A错误.
选项B：由题意知，，设，，则，
则直线的斜率为.
直线斜率为，
因为，所以，B正确.
选项C：当直线过点时，设直线方程为，
与抛物线方程联立整理得，则.
，，则直线方程为，
令，则.
直线方程为，
令，则.
故直线与的交点为，C正确.
选项D：由，可得，得.
又，所以.
由题意可知，四边形为直角梯形，
所以其面积为
，D正确.
故选：BCD.
11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断.
【详解】因为且，，所以.
又，所以.
构造函数，
则的定义域为，，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，即，所以，
所以，故CD正确；
当时，，即，
所以，所以，故AD正确，B错误.
故选:ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，角的对边分别为．已知，则角为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：在中，，根据正弦定理可得．由，可得，故
考点：正余弦定理
13. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种．
【答案】145
【解析】
【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和.
【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种；
若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种，
若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种，
故满足条件的所有不同情况共有种.
故答案为：145
14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可．
【详解】法1：由题意得，
令，则，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即.
当时，，当且仅当时，取得最小值2.
当时，，当且仅当时，取得最小值2.
当时，，当且仅当，时，取得最小值2.
综上所述，的最小值为2.
法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.
作于，，
令，则，
令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
故的最小值为2．
故答案为：．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解；
（2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由题可知，，
当时，，由得，
由得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，
又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是．
16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且．
（1）求．
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）过作，利用线面垂直的判定定理可推出所以平面，再结合边长应用勾股定理即可；
（2）取的中点为，根据线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法直线与平面所成角的正弦值列出方程即可求得.
【小问1详解】
由题意得，过作，
因为底面为等腰梯形，且，所以，
所以，
所以，进而得出，
又，平面.
所以平面，又平面，
所以．
所以.
【小问2详解】
取的中点为，连接，，，
所以平面，又平面，
，平面.
所以平面，过E作平行于，
以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
假设存在点，设，
，
设平面的一个法向量，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
，解得或（舍）.
在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
17. 某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润．
（1）求一个未被光刻芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率；
（2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.8424
（2）分布列见解析，300
【解析】
【分析】（1）先求出一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工的概率，再计算不亏的概率；（2）先确定的值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求的数学期望.
【小问1详解】
设甲种工艺光刻成功的概率是，则，
乙种工艺两次均不成功的概率为，则，
不亏钱的概率．
【小问2详解】
在甲种工艺合格的前提下，设一个芯片赚取的利润为，
则，
，
．
的可能取值为，，，，，．
则，
，
，
，
，
．
其分布列为
．
18. 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数的最小值；
（3）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值；
（3）当时，将所求不等式变形为，根据，结合（1）（2）中的结论可证得所证不等式成立.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
当时，由得，由，得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由得，由，得或，
此时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，由得或，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，函数减区间为，增区间为、.
【小问2详解】
函数的定义域为，，
由，得，由，得，
即在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值．
【小问3详解】
当时，等价于，
即，即，
即，即，
，只需证明，
当，时，，只需证明，
由（1）知，时，在处取得最小值，
综上所述，原不等式成立．
19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴．
（1）求的通项公式；
（2）求直线的斜率；
（3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的离心率可得，得，在中，根据位置关系可得，进而可得；
（2）设直线的方程为，联立双曲线方程可得，结合可得，进而可得；
（3）由弦长公式和距离公式可得的面积，进而可得，由放缩可得，进而可得.
【小问1详解】
因双曲线的离心率为2，故，
即，故公比．
在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长），
得是的一个焦点，故，即，解得，
故．
【小问2详解】
由（1）知，，
由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
将代入中整理得，，
且，，．
的平分线垂直于轴，，
得，即，
将，，和代入整理得，，
或（舍，此时直线过），．
【小问3详解】
直线的方程为，到直线的距离，
，
的面积，
或（舍），，
，，，
．
【点睛】关键点点睛：本题第三问由进而根据放缩得，即，进而可证.
100
200
400
600
0.01
0.1
0.08
0.25
0.4
0.16