2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（下）期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，则一定在第四象限的点是
A．点B．点C．点D．点
2．（3分）如图，在正五边形中，延长，交于点，则 的度数是
A．B．C．D．
3．（3分）对于函数，自变量分别取，，0，1中哪个时，函数值最大
A．B．C．0D．1
4．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为
A．4B．6C．8D．12
5．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在中，，，，分别平分，，那么的长为
A．3B．4C．5D．以上都不对
7．（3分）关于一次函数，下列说法正确的是
A．图象经过第二、三、四象限
B．图象与轴交于点
C．图象向下平移6个单位经过原点
D．点在函数图象上
8．（3分）在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是
A．B．
C．D．
9．（2分）已知直线过点和点，则和的大小关系是
A．B．C．D．不能确定
10．（2分）有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①③符合条件的是
A．①③B．①②C．②③D．①②③
11．（2分）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是
A．B．C．D．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则点到轴的距离与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是
A．B．
C．D．
二、填空题：（本题共4题，每题3分，共12分）
13．（3分）函数的自变量的取值范围是 ．
14．（3分）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ．
15．（3分）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位（单位：是关于时间（单位：的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个的值记录错误，则的值记录错误的是 ．
16．（3分）如图，已知在△中，，，，点在斜边上（不与、重合），过作，，垂足分别是、，连接．随着点在边上位置的改变，则长度的最小值是 ．
三、解答题：（本题共7题，56分）
17．（7分）在的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△的三个顶点都是格点．
（1）△的顶点坐标分别是 ， ， ；
（2）△与△关于轴对称，，，的对应点分别是，，，请在网格中画出△，写出点的坐标 ；
（3）点是格点，且以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点坐标为 ．
18．（7分）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米分；
（4）图中表示的数是 ；表示的数是 ；
（5）图中点表示的实际意义是 ．
19．（8分）在正方形中，为对角线，为上一点，连接、．
（1）求证：△△．
（2）延长交于，当时，求的度数．
20．（8分）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取，的中点，；
乙方案：作于点，于点；
请回答下列问题：
（1）你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 ．
（2）如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．
21．（8分）已知点，在直线的图象上，直线和一次函数的图象交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若点的横坐标是1，求点的坐标，并直接写出关于，的方程组的解；
（3）在（2）的条件下，若点关于轴的对称点为，求△的面积．
22．（8分）【课本再现】
已知：如图，是△的中位线．求证：，且．
【定理证明】
（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
【知识应用】
（2）如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则 ．
23．（10分）【教材呈现】
将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段、、、、把四个顶点连接起来）．已知如图，．
（1）由图1可知，线段和的位置关系为： ；
【问题探究】
（2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形 （是不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了△△，发现△是 三角形，请结合以上结论，猜想线段与的数量关系，并证明．
【问题解决】
（3）在第（2）问的基础上，若，求最短连法的线段和，即的值．
2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题：（本题共12题，1-8题每题3分，9-12题每题2分，共32分）
1．（3分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，则一定在第四象限的点是
A．点B．点C．点D．点
【分析】根据这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，得轴在点的左侧，轴在点与点之间，再结合平面直角坐标系的各点位置，即可作答．
【解答】解：这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，
轴在点的左侧，轴在点与点之间，
结合平面直角坐标系的各点位置，一定在第四象限的点是点，
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形，正确掌握平面直角坐标系的轴、轴以及各个象限的分布情况是解题的关键，难度较小．
2．（3分）如图，在正五边形中，延长，交于点，则 的度数是
A．B．C．D．
【分析】求出正五边形每个外角的度数，由三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：正五边形每个外角度数，
，
．
故选：．
【点评】本题考查正多边形的性质，三角形内角和定理，关键是求出正五边形的每个外角的度数．
3．（3分）对于函数，自变量分别取，，0，1中哪个时，函数值最大
A．B．C．0D．1
【分析】直接把选项的自变量的值代入进行计算，即可作答．
【解答】解：依题意，把分别代入，
得；
把分别代入，
得；
把分别代入，
得；
把分别代入，
得；
，
在四个选项中，当时，函数值最大；
故选：．
【点评】本题考查了求函数值以及实数的大小比较，熟练掌握该知识点是关键．
4．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为
A．4B．6C．8D．12
【分析】根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
5．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据平面直角坐标系中点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第四象限内点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．
6．（3分）如图，在中，，，，分别平分，，那么的长为
A．3B．4C．5D．以上都不对
【分析】由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得是解题的关键．
7．（3分）关于一次函数，下列说法正确的是
A．图象经过第二、三、四象限
B．图象与轴交于点
C．图象向下平移6个单位经过原点
D．点在函数图象上
【分析】根据一次函数的性质逐项分析判断即可．
【解答】解：、一次函数中，，，图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意；
、当时，，图象与轴交于点，原说法错误，不符合题意；
、把一次函数向下平移6个单位得函数解析式为，
函数图象过原点，故原说法正确，符合题意；
、当时，，原说法错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（3分）在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是
A．B．
C．D．
【分析】根据菱形的判断定理逐项判断即可求解．
【解答】解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意；
、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意；
、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意；
、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判断定理是解题的关键．
9．（2分）已知直线过点和点，则和的大小关系是
A．B．C．D．不能确定
【分析】由直线是一次函数，且，随的增大而增大，据此判断即可．
【解答】解：一次函数的自变量的系数，
随的增大而增大，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
10．（2分）有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①③符合条件的是
A．①③B．①②C．②③D．①②③
【分析】图①经过平移，可求得图形的周长；图③是平行四边形，一边长为，另一边长大于，可求得图形的周长，据此可判断．
【解答】解：图①经过平移，图形的周长为，符合题意；
图②，图形的周长为，符合题意；
图③，图形是平行四边形，一边长为，另一边长大于，其周长大于，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平移性质的应用，图形的周长，根据题意正确列出式子是解题的关键．
11．（2分）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案．
【解答】解：点平移后对应点，
点的平移规律是先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
点的对应点的坐标为，
即，
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则点到轴的距离与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是
A．B．
C．D．
【分析】依据题意，将动点的运动过程划分为、、、、共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【解答】解：动点运动过程中：
①当时，动点在线段上运动，此时保持不变；
②当时，动点在线段上运动，此时由2到1逐渐减少；
③当时，动点在线段上运动，此时保持不变；
④当时，动点在线段上运动，此时由1到2逐渐增大；
结合函数图象，只有选项符合要求．
故选：．
【点评】本题主要考查了动点运动过程中的函数图象．把运动过程分解，进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题：（本题共4题，每题3分，共12分）
13．（3分）函数的自变量的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得．
【解答】解：，
，
即函数的自变量的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的自变量、二次根式的被开方数的非负性，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
14．（3分）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 30 ．
【分析】如图，把、拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解．
【解答】解：如图，把、拼在一起，得到平行四边形，则，
，
，
四边形的内角和为，
，
，
故答案为：30．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．（3分）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位（单位：是关于时间（单位：的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个的值记录错误，则的值记录错误的是 1.2 ．
【分析】设水位（单位：关于时间（单位：的函数解析式为，然后把，代入解析式求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
【解答】解：设水位（单位：关于时间（单位：的函数解析式为，将，分别代入得：
，
解得，
，
当时，得：，
当时，得：；
点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
故答案为：1.2．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
16．（3分）如图，已知在△中，，，，点在斜边上（不与、重合），过作，，垂足分别是、，连接．随着点在边上位置的改变，则长度的最小值是 2.4 ．
【分析】连接，过点作于点，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点于点重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案．
【解答】解：连接，过点作于点，如图所示：
在△中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
四边形是矩形，
，
当的值最小时，的值为最小，
点在斜边上（不与、重合），
根据“垂线段最短”得：当点于点重合时，的值为最小，最小值为线段的长，
的最小值是线段的长，
，
，
长度的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，理解垂线段最短是解决问题的关键．
三、解答题：（本题共7题，56分）
17．（7分）在的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△的三个顶点都是格点．
（1）△的顶点坐标分别是 2，4 ， ， ；
（2）△与△关于轴对称，，，的对应点分别是，，，请在网格中画出△，写出点的坐标 ；
（3）点是格点，且以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点坐标为 ．
【分析】（1）由图可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）根据轴对称图形的定义确定点的位置，即可得出答案．
【解答】解：（1）由图可得，，，．
故答案为：2，4；5，2；3，．
（2）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：3，1．
（3）如图，点，均满足题意，
点坐标为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查作图轴对称变换、轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质、轴对称图形的定义是解答本题的关键．
18．（7分）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 时间（或 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米分；
（4）图中表示的数是 ；表示的数是 ；
（5）图中点表示的实际意义是 ．
【分析】（1）根据图象信息得出自变量；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间分钟即可；
（3）根据“速度路程时间”计算即可；
（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；
（5）根据点的实际意义解答即可．
【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或，因变量是高度（或；
故答案为：时间（或；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）；
故答案为：5；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度（米分）；
故答案为：25；
（4）图中表示的数是（分钟）；表示的数是（分钟）；
故答案为：2，15；
（5）图中点表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米；
故答案为：在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
19．（8分）在正方形中，为对角线，为上一点，连接、．
（1）求证：△△．
（2）延长交于，当时，求的度数．
【分析】（1）由题意可得：，且，可证△△；
（2）由，可得，由平行线的性质可求的度数．
【解答】证明：（1）四边形是正方形
，，
，，
△△
（2），且
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练运用这些性质和判定是本题的关键．
20．（8分）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取，的中点，；
乙方案：作于点，于点；
请回答下列问题：
（1）你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 甲乙 ．
（2）如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．
【分析】（1）由题意作出判断即可；
（2）由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别进行证明即可．
【解答】解：（1）甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形，
故答案为：甲乙；
（2）证明：甲方案：如图，连接，
在中，点是对角线的中点，
，，
，分别为，的中点，
，
四边形为平行四边形；
乙方案：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在△和△中，
△△，
，，
，
四边形为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）已知点，在直线的图象上，直线和一次函数的图象交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若点的横坐标是1，求点的坐标，并直接写出关于，的方程组的解；
（3）在（2）的条件下，若点关于轴的对称点为，求△的面积．
【分析】（1）由于点、在直线上，可用待定系数法确定直线的表达式；
（2）先求出点的坐标，即得方程组的解；
（3）由于，分别求出△和△的面积即可．
【解答】解：（1）点、在直线上，
，
解得，
所以直线的表达式为：；
（2）由于点在直线上，当时，，
点的坐标为，
关于，的方程组的解为；
（3）点与点关于轴对称，
点，
，，
．
【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．熟知待定系数法是解题的关键．
22．（8分）【课本再现】
已知：如图，是△的中位线．求证：，且．
【定理证明】
（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
【知识应用】
（2）如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则 ．
【分析】（1）想办法证明四边形是平行四边形可得结论；
（2）利用勾股定理以及三角形中位线定理求解．
【解答】（1）证明：在△和△ 中，
，
△△，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，；
（2）解：如图2中，连接．
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
，
，分别是，的中点，
．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）【教材呈现】
将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段、、、、把四个顶点连接起来）．已知如图，．
（1）由图1可知，线段和的位置关系为： ；
【问题探究】
（2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形 （是不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了△△，发现△是 三角形，请结合以上结论，猜想线段与的数量关系，并证明．
【问题解决】
（3）在第（2）问的基础上，若，求最短连法的线段和，即的值．
【分析】（1）根据正方形的性质证明，进而可以解决问题；
（2）证明△△，可得△△，证明△是等边三角形，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题；
（3）结合（2）根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）图1所示图形是轴对称图形，如图2构造了△△，发现△是等边三角形，
猜想线段，证明如下：
由（1），
，
，
，
同理，
△△，
△△，
△△，
，，
△是等边三角形，
，
，，
，
故答案为：是，等边；
（3）△是等边三角形，
同（2）可知：△是等边三角形，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
的值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形各边长相等的性质，全等三角形对应边相等的性质，平行线的判定，准确的计算、的值是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 8:41:20；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：501840400
1
2
3
0.7
1.2
1.5
1.9
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
D
B
B
B
C
B
C
B
B
题号
12
答案
A
0
1
2
3
0.7
1.2
1.5
1.9