2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数，，3.1415926，中无理数是
A．B．C．3.1415926D．
2．（3分）如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是
A．甲是分式，乙不是B．乙是分式，甲不是
C．甲和乙都是分式D．甲和乙都不是分式
3．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是
A．对顶角相等B．若，则
C．两直线平行，同位角相等D．若，则
4．（3分）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，则点表示的数可能为
A．B．C．D．
5．（3分）如图，在△中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是
A．小高B．小雪C．小琪D．小嘉
7．（3分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了
A．B．C．D．
8．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中表示
A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对
9．（3分）如图，，点在内，点关于射线，的对称点分别是，，连接，，则
A．B．C．D．无法确定
10．（3分）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为，则涂色的正方形是
A．①B．②C．③D．④
11．（3分）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．4D．6
12．（3分）如图，，点为的平分线上的一个定点，点，分别为边，上的动点，且，则以下结论中：
①；②为定值；③四边形的面积为定值；④四边形的周长为定值．正确的个数为
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本题共4个小题，每空2分，共10分）
13．（2分）要使分式有意义，则的取值范围是 ．
14．（2分）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角，则顶角的度数为 ．
15．（2分）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，在上且．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”
16．（4分）如图，△中，，，，动点从点出发，以每秒的速度按的路径运动，设运动时间为秒．出发2秒时，△的面积为 ；当 时，恰好平分．
三、解答题（本题共7个大题，共54分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）嘉嘉和淇淇在玩猜式子游戏，其规则如下：题目中“□”代表一个单项式，请你根据不完整的解题过程，求出“□”所代表的单项式，并完成本题的解答．
19．（6分）如图，△和△的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△和△关于直线成轴对称．
（1）直接写出△的面积 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴．
（3）请在线段的上方找一点，画出△，使△△．
20．（6分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ；
（2）估计的值在两个相邻整数与之间，则 ， ；
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长的整数部分为，小数部分为，求的值（化为最简）．
22．（9分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费2880元，品牌足球共花费2400元，且购买品牌足球数量是品牌数量的1.5倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜12元．
（1）求去年品牌足球和品牌足球的单价；
（2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买、两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？
23．（11分）中，，直线过点．
（1）当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．与是否全等，并说明理由；
（2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接、，点在上，点是上一点，分别过点、作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．
①当为等腰直角三角形时，求的值；
②当与全等时，求的值．
2024-2025学年河北省石家庄四十中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）实数，，3.1415926，中无理数是
A．B．C．3.1415926D．
【解答】解：．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．3.1415926是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
2．（3分）如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是
A．甲是分式，乙不是B．乙是分式，甲不是
C．甲和乙都是分式D．甲和乙都不是分式
【解答】解：是分式，不是分式，
故选：．
3．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是
A．对顶角相等B．若，则
C．两直线平行，同位角相等D．若，则
【解答】解：①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题；
②若，则，逆命题为：若，则，是真命题；
③两直线平行，同位角相等，逆命题为：同位角相等，两直线平行，真命题；
④若，则，逆命题为：若，则，是真命题；
故选：．
4．（3分）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，则点表示的数可能为
A．B．C．D．
【解答】解：设点表示的数为，
根据数轴上点的位置可得，
即，
符合要求的为，
故选：．
5．（3分）如图，在△中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：由作法得，
，
平分，，
，
．
故选：．
6．（3分）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是
A．小高B．小雪C．小琪D．小嘉
【解答】解：如图，
过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠；
过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠；
先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠；
通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确，
故选：．
7．（3分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是正方形，，
正方形的面积，，
由题意知，
四边形是菱形，
，
过点于，
，
，
菱形的面积，
正方形的面积菱形的面积，
四边形的面积减少了．
故选：．
8．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中表示
A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对
【解答】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，
表示慢马的速度，表示快马的速度；
把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，
表示规定的时间．
故选：．
9．（3分）如图，，点在内，点关于射线，的对称点分别是，，连接，，则
A．B．C．D．无法确定
【解答】解：连接，如图所示，
点关于射线，的对称点分别是，，
，，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为，则涂色的正方形是
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有4条，即，
、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有4条，符合题意；
、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
故选：．
11．（3分）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．4D．6
【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
题图中阴影部分的面积为．
故选：．
12．（3分）如图，，点为的平分线上的一个定点，点，分别为边，上的动点，且，则以下结论中：
①；②为定值；③四边形的面积为定值；④四边形的周长为定值．正确的个数为
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：过点作于点，于点，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
．
平分，，，
．
在和中，
，
，
．
①的结论正确；
，
，
在和中，
，
，
，
．
，点为的平分线上的一个定点，
，为定值．
，
，
为定值．
②的结论正确；
在中，
，
四边形的面积，
，，
四边形的面积．
四边形的面积是定值．
③的结论正确；
为定值，，点，分别为边，上的动点，
，的长度不确定，
四边形的周长不是定值．
④的结论不正确．
综上，正确的结论有：①②③，
故选：．
二、填空题（本题共4个小题，每空2分，共10分）
13．（2分）要使分式有意义，则的取值范围是 ．
【解答】解：分式有意义，
，即
故答案为：．
14．（2分）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角，则顶角的度数为 ．
【解答】解：△是等腰三角形，且底角，是顶角，
，
顶角，
故答案为：．
15．（2分）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，在上且．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”
【解答】解：，，，
，，，
，
又中，，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，△中，，，，动点从点出发，以每秒的速度按的路径运动，设运动时间为秒．出发2秒时，△的面积为 12 ；当 时，恰好平分．
【解答】解：，，，
，
当时，，
△的面积，
当平分时，作于，
则，
，
，即，
解得，，
则时，恰好平分．
故答案为：12，1.5．
三、解答题（本题共7个大题，共54分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
18．（6分）嘉嘉和淇淇在玩猜式子游戏，其规则如下：题目中“□”代表一个单项式，请你根据不完整的解题过程，求出“□”所代表的单项式，并完成本题的解答．
【解答】解：由题意，第一步进行的是通分，
，
□，
□，
原式
；
当，原式．
19．（6分）如图，△和△的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△和△关于直线成轴对称．
（1）直接写出△的面积 5 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴．
（3）请在线段的上方找一点，画出△，使△△．
【解答】解：（1）△的面积；
故答案为5；
（2）如图，直线为所作；
（3）如图，△为所作．
20．（6分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【解答】解：该车符合安全标准，证明如下：
在△中，，
在△中，，
，
△是直角三角形，，
，
该车符合安全标准．
21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为．
（1）图中阴影部分的面积是 13 ；阴影部分正方形的边长是 ；
（2）估计的值在两个相邻整数与之间，则 ， ；
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长的整数部分为，小数部分为，求的值（化为最简）．
【解答】解：（1）根据题意可得：，
所以图中阴影部分的面积是13，阴影部分正方形的边长是；
故答案为：13，；
（2），
，
，，
故答案为：3，4；
（3），
边长的整数部分为，小数部分为，
．
22．（9分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费2880元，品牌足球共花费2400元，且购买品牌足球数量是品牌数量的1.5倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜12元．
（1）求去年品牌足球和品牌足球的单价；
（2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买、两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？
【解答】解：（1）设去年品牌足球售价为元，则品牌足球售价为元，
由题意得：，
解得：．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：品牌足球售价为48元，品牌足球售价为60元；
（2）设学校要购买个品牌足球，则学校要购买个品牌足球，
由题意得：，
解得：，为正整数，的最小值为33，
答：学校至少要购买33个品牌足球．
23．（11分）中，，直线过点．
（1）当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．与是否全等，并说明理由；
（2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接、，点在上，点是上一点，分别过点、作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．
①当为等腰直角三角形时，求的值；
②当与全等时，求的值．
【解答】解：（1）与全等．理由如下：
直线，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）①由题意得，，，
则，
由折叠的性质可知，，
，
点在上时，为等腰直角三角形，
当点沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
当点沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
综上所述，当秒或秒时，为等腰直角三角形；
②由折叠的性质可知，，
，，
，
当时，与全等，
当点沿路径运动时，，
解得，（不合题意），
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
当点沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
综上所述，当秒或秒或秒时，与全等．先化简，再求值：，其中，
解：原式，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
A
C
C
C
A
C
A
C
C
题号
12
答案
B
先化简，再求值：，其中，
解：原式，