河北省石家庄四十四中2024-2025学年八年级（上）期末数学试卷

这是一份河北省石家庄四十四中2024-2025学年八年级（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）对于实数a、b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，则4※6的结果有（ ）
A．平方根±22B．算术平方根2
C．立方根2D．立方根﹣2
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若△ACG 的面积是4，AC＝4，则BG＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）正方形代表着符合、安宁、稳固、安全和平等，它们是熟悉的和值得信任的形状，若某正方形的面积为11，它的边长为m，估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2B．2＜m＜3C．3＜m＜4D．4＜m＜5
5．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，则BB′的长为（ ）
A．8B．83C．4D．43
6．（3分）如图，数轴上点M表示的数不可能是（ ）
A．6B．(1−17)2
C．39D．23π
7．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．校门口的自动伸缩栅栏门的原理是三角形稳定性
B．“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆命题是真命题
C．将分式2xx−y中的x，y的值都变为原来的2倍，分式的值不变
D．用反证法证明“在△ABC中，∠A≠∠B．则AC≠BC”．应先假设“∠A＝∠B”
8．（3分）某学校进行根式运算大赛，其中一道题为0.9+12×12+(3−2)+86，下列计算步骤正确的是（ ）
A．0.9=0.3B．12×12=6
C．3−2=1D．86=223
9．（3分）下列说法中，错误的有（ ）
①9的平方根是3；
②22是8的算术平方根；
③﹣8的立方根为±2；
④(1−2)2=1−2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，OC为∠AOB内部一条射线，点D为射线OC上一点，OD为2，点E，F分别为射线OA，OB上的动点，若△DEF周长的最小值为2，则∠AOB＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．35°
11．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
①a2+b2＝c2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③S△ABC=12ab；④∠A＝∠B＝∠C．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝20cm，BC＝25cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．经过t秒后，△BMN为直角三角形，则t＝（ ）
A．6s或10sB．4s或10sC．4s或8sD．6s或8s
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
13．（3分）科技人员在进行实验时需要将数据3.25136精确到十分位，他得到近似数为 ．
14．（3分）2在初中数学中的实际应用非常广泛，不仅在数学内部有着重要的地位、而且在其他学科和实际生活中也有着广泛的应用，请你比较大小2+1 2−1（选填“＞”“＜”或“＝”）．
15．（3分）已知分式x+n2x−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则a＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E，在点D的运动过程中，△ADE的形状是等腰三角形时，∠BDA＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）老师让小玲和小静到黑板上分别解方程xx−3−x−23−x=1，两人解题过程如下：
（1）你认为她们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程；
（2）小夏解方程时把方程抄成mx−3−x−23−x=1，若此方程有增根，求m值．
18．（8分）计算是数学知识中的重要内容之一，数学计算能力是一项基本的数学能力，计算能力是学习数学和其他学科的重要基础，请同学们认真计算下列各题：
（1）(3+27−12)÷6；
（2）43+12−1−(2−3)2+3−1．
19．（8分）已知：a、b、c满足(a−15)2+b−17+|c−8|=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）某城市建造一条三角形的闭环赛车跑道，这个三角形的三边长度为a、b、c，请计算该跑道占地面积．
20．（8分）先化简，再求值：(1−2a+1)÷a2−2a+1a2+a，其中a=23+1，根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议．
21．（9分）中国天文传统之一，就是“立表测影”，当用来观察季节或时间时：首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AM平分∠BAC，MD⊥AC．
（1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长；
（2）连接BD，若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由．
22．（9分）在△ABC和△APD中，AB＝AC，AP＝AD，∠BAC＝∠PAD，点B、C、P三点共线，连接CD．
（1）求证：△ABP≌△ACD；
（2）求证：∠PDC＝∠PAC；
（3）若AB∥CD，AC＝PC＝2，则四边形ACPD的面积为 ．
23．（11分）某服装店预测某款服装会畅销，用18000元购进这款服装，面市后果然供不应求，又用30000元购进这款服装，第二批的单价比第一批贵20元，数量比第一批增加50%．
（1）第一批服装进货单价多少元？
（2）若两次购进服装按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于12000元，那么销售单价至少为多少元？
24．（12分）【方法初探】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．
问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C．
解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，连接AE，从而证明出结论．
请你根据上述解题思路，写出证明过程．
【方法应用】如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
【实际应用】如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，直接写出AE的长 ．
参考答案
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
11.C ∵a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵S△ABC=12ab，∴△ABC是直角三角形，故③符合题意；∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是锐角三角形，故④不符合题意；综上，符合题意得有3个.
12.B设M，N同时分别从A，B出发经x秒时，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝30°，∴BN=12BM，即2x=12（20﹣x），解得x＝4；②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝30°，∴BM=12BN，即20﹣x=12×2x，解得x＝10，即M，N同时分别从A，B出发经4秒或10秒，△BMN是直角三角形.
16.115°或100°∵∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动，∠ADE＝50°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE＝130°﹣∠CDE，∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝130°﹣∠CDE，∴∠BDA＝∠CED，如图1，△ADE是等腰三角形，且AD＝ED，则∠DAE＝∠DEA，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∴2∠DEA+50°＝180°，∴∠DEA＝65°，∴∠BDA＝∠CED＝180°﹣∠DEA＝115°；如图2，△ADE是等腰三角形，且AE＝ED，则∠DAE＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝∠DAE+∠ADE＝100°；若AE＝AD，则∠AED＝ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝80°，∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∴∠DAE＝∠BAC，∴点D与点B重合，不符合题意.

解答题参考答案
17.解：（1）对于小玲解方程的步骤来说，去分母时x﹣（x﹣2）＝x﹣3未变号，
应为x+（x﹣2）＝x﹣3，
对于小静解方程的步骤来说，去分母时1未乘最简公分母，
应为x+（x﹣2）＝x﹣3，
则她们的解法是错误的，正确的解答过程如下：
原方程去分母，得x+（x﹣2）＝x﹣3，
去括号，得x+x﹣2＝x﹣3，
移项，合并同类项，得x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1；
（2）原方程去分母得m+x﹣2＝x﹣3，
∵原方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
则m+3﹣2＝3﹣3，
解得m＝﹣1．
18.解：（1）(3+27−12)÷6
=(3+33−23)÷6
=23÷6
=2.
（2）43+12−1−(2−3)2+3−1
=233+2+1−(4−43+3)+(−1)
=233+2+1−7+43−1
=1433+2−7．
19.解：（1）∵(a−15)2+b−17+|c−8|=0，
∴a﹣15＝0，b﹣17＝0，c﹣8＝0，
解得a＝15，b＝17，c＝8；
（2）∵82+152＝289，172＝289，
∴c2+a2＝b2，
∴该三角形为直角三角形，
其面积为12×8×15＝60，
即该跑道占地面积为60．
20.解：（1）∵AM平分∠BAC，MD⊥AC，∠B＝90°，
∴DM＝BM，
在Rt△ABM和Rt△ADM中，AM=AMBM=DM，
∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），
∴AB＝AD＝6，
∵AB＝6，AC＝10，
∴BC=AC2−AB2=8，
∴DC＝AC﹣AD＝10﹣6＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM，
在Rt△DCM中，根据勾股定理得DC2+DM2＝CM2，
∴42+（8﹣CM）2＝CM2，
∴CM＝5.
（2）△ABD是等边三角形，理由如下：
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，
∵AM＝CM，
∴∠C＝∠CAM，
∴∠BAM＝∠CAM＝∠C，
∵∠BAM+∠CAM+∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠CAM＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝60°，
由（1）知：AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
22.（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD，
∴∠BAP＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AP＝AD，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
（2）证明：如图设AP，CD的交点为O，
∵△ABP≌△ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵AB＝AC，AP＝AD，∠BAC＝∠PAD，
∴∠B＝∠ACB＝∠APD＝∠ADP，
∴∠ACD＝∠APD，
∵∠AOD＝∠APD+∠PDC＝∠ACD+∠CAP，
∴∠PDC＝∠PAC.
解：43
∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCP，∴∠ACB＝∠ACD＝∠DCP，∵∠BCP＝180°，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝∠DCP＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∵AC＝CP＝2，∴CD⊥AP，∠CAP＝AC＝30°，∴∠BAP＝90°，∴BP＝2AB＝4，AP=3AB＝23，∵△ABP≌△ACD，∴BP＝CD＝4，
∴四边形ACPD的面积=12AP•CD＝43.
23.解：（1）设第一批服装进货单价为x元，则第二批服装进货单价为（x+20）元，
依题意得30000x+20=18000x×（1+50%），
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意．
答：第一批服装进货单价为180元.
（2）由（1）可知，第一批服装数量为18000÷180＝100（件），第二批服装数量为100×.5＝150（件），
设销售单价为y元，
依题意得（100+150）y﹣18000﹣30000≥12000，
解得y≥320，
答：销售单价至少为320元．
24.【方法初探】证明：如图2，在DC上截取DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C，
∴∠B＝2∠C.
【方法应用】证明：如图所示，过点D作DH⊥AC于H，
∴∠AHD＝90°＝∠B，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠HAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AHD（AAS），
∴AH＝AB，BD＝HD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴HD＝HC，
∴BD＝HC，
∵AC＝AH+CH，
∴AC＝AB+BD.
【实际应用】解：15
在AE上截取AF＝AD，连接CF，如图.
由题意可得∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝25°，∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝25°，∴∠DAC＝∠FAC＝25°，∵AC＝AC，在△DAC和△FAC中，AF=AD∠DAC=∠FACAC=AC，∴△DAC≌△FAC（SAS），
∴∠AFC＝∠D＝110°，∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°，
∴∠B＝∠CFE，∵CE⊥AB，∴∠CEF＝∠CEB＝90°，∴CE＝CE，在△CEF和△CEB中，∠B=∠CFE∠CEF=∠CEBCE=CE，
∴△CEF≌△CEB（AAS），∴EF＝BE，∴BF＝2BE＝6，∴AB＝AF+BF＝12+6＝18，∴AE＝AB﹣BE＝18﹣3＝15．
x的取值
﹣2
3
a
分式的值
无意义
0
1
小玲：
解：去分母，得x﹣（x﹣2）＝x﹣3
去括号，得x﹣x+2＝x﹣3
合并同类项，得2＝x﹣3
解得x＝5
经检验x＝5是原方程的解
∴原方程的解是x＝5
小静：
解：去分母，得x+（x﹣2）＝1
去括号，得x+x﹣2＝1
合并同类项，得2x﹣2＝1
解得x=32
经检验x=32是原方程的解
∴原方程的解是x=32
1
2
3
4
5
6
D
D
A
C
A
B
7
8
9
10
11
12
C
B
C
A
C
B
13.3.3 14.＞ 15.﹣7 16.