黑龙江省大庆市铁人中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份黑龙江省大庆市铁人中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题，共8页。
铁人中学 2024 级高二下学期开学考试
到直线 EF 的距离是（ ）
n
12
n
n
n
数学试题
90
7
50
7
3 70
7
5 14
7
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
已知数列a 满足a  3a
   3n1a
 n  3n1 n  N*  ，设数列a 的前n 项和为S ，则数
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
命题人：审题人：
第Ⅰ卷客观题部分
一、单项选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只．有．一．项．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
在等比数列an 中，若a3 , a7 是方程 x2  5x  4  0 的两个根，则a5 的值是（ ）
列 an  20  的前20 项和为（ ）
A．920B．952C． 284D．-920
设等差数列an 的前n 项和为Sn ，公差为d ， a1  0 ， a6  a7  0 ， a6  a7  0 ，下列结论错误的是（ ）
d＞0B． Sn 的最小值为S6
2
2
C．2D． 4
当S  0 时， n 的最大值为 11D．数列 Sn  前n 项和为T ， T 最小
已知 f  x 是定义在R 上的可导函数，若lim
f 2  Δx  f 2
  1 ，则 f 2  （ ）
n
x2y2
n12
n

Δx0
1
2Δx2
1
已知双曲线C :
a2  b
2  1(a  0, b  0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，过点 F1 的直线交C 的左支
A．1B． 
4
C． 1
D． 4
于 A，B 两点，点 I 是△ABF 的内心，若VIAB,VIAF ,VIBF 的面积比为 5:12:13，则C 的离心率
xy
22
5
已知双曲线 C： 1a  0, b  0 的焦距为2
，点 P 1, 2 在 C 的渐近线上，则双曲线
222

a2b2
C 的方程为（ ）
x2y2
为（ ）
37
5
37
25
111
6
37
12
 y2  1
4
1

x2y2
C．
205
x2  1
4
1

x2y2
D．
520
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
下列求导运算正确的是（ ）
过点1, 2 且在 x 轴， y 轴上的截距相等的直线方程是（）
2x  y  0
2x  y  0
x  2 y  3  0
 x  1   1 1
sin π   0
A．B．或
x x2
3 
C． x  2 y  3  0
D． 2x  y  0 或 x  y  3  0


 1 
6
在正四棱锥 P  ABCD 中， PA  2
， AB  4 ， E ， F 分别是棱 AB，PC 的中点，则点 D
C． lg2 x
D． x2csx
xln2
 2xsinx
下列说法正确的有（ ）
铁人中学 2024 级高二下学期开学考试数学 试题考试时间： 2026年3 月
在等差数列{an }中， a2  2 ， a8  12 ，则前 9 项和S9  63 .
已知函数 f  x 
, g  x  f  x 1 1 ， an  g    g   L g n  N ，则
已知Sn 为等比数列an 的前n 项和， S6  26 ， S4  4S2 ，则S2  -1.
ex 1
ex 1 1  2  2n 1 
数列an 的通项公式为．
 n  n n
已知等差数列a 的前n 项和为S ，等差数列b 的前n 项和为T ，且 Sn  3n  1 ，则
平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 是平面内与两个定点 F (1, 0) ， F (1, 0) 的距离之积等于常
n
a4  2.
b4
nnn
Tnn  2
12
数a2 （ a  0 ）的点的轨迹.点 P 是曲线C 上一点.给出下列四个结论.
①曲线C 关于 x 轴对称；
数列{an }为等比数列， a1  a2  a3  2 ， a2  a3  a4  4 ，则a6  a7  a8  64 .
2
如图，在平面直角坐标系 xOy 上，有一系列点 P1  x1 , y1  ， P2  x2 , y2  ，…， Pn  xn , yn  ，每一个点 P n  N*  均位于抛物线 y  x2  x  0 的图象上．点F 为抛物线的焦点，以点 P 为圆心的eP
a2
VPF F
②1 2 面积的最大值为 2 ；
③当a  1 时，已知点Q 在双曲线 x2  y2  1 上，若 FQ  F Q ，则点Q 在曲线C 上；
212
nnn
④当a  1 时，曲线C 所围成的图形面积小于椭圆 E ： x
2
y
 1所围成的图形面积.其中所有正
都与 x 轴相切，且eP 与eP
外切．若 PF  5 ，且 x
 x n  N*  ，T
 x x
，T 的前 n43
n
项之和为Sn ，则（ ）
n1
14n1n
nn n1n
确结论的序号为
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
已知等比数列an 的前n 项和为Sn ，已知S3  42, a2  a1  6 ，且an 的公比q  2
求数列an 的通项公式
令b
 lg a ，数列 1
的前n 项和为T ，求证： T  1
n2 n
b b
nn2
 n n1 
A． x1  1
C． T 1
n4n2 1
1
x
B．{}是等差数列
n
D． S 4052
20264053
第ⅠⅠ卷主观题部分
在四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面 ABCD ， AD / / BC ， PA  AB  BC  2 ， AC  2，
2
AD  2BC ， E 为 PA 的中点.
求证： BE / / 平面 PCD
求平面 BEC 与平面 PCD 所成夹角的余弦值
三、填空题(本题包括 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把正确答案填在答题卡中横线上)
12．已知曲线f(x) = x3−3x，则曲线过点P(2,2)的切线方程为．
铁人中学 2024 级高二下学期开学考试数学 试题考试时间： 2026年3 月
在xOy 平面上，设椭圆 :
x2
 2
m2y
 1m  1 ，梯形ABCD 的四个顶点均在 上，且 AB//CD .设
(2)已知曲线C : y  1 ，绕原点逆时针旋转 3π
x4
得到曲线C' ．
2
直线 AB 的方程为 y  kx k  R 
若 AB 为 的长轴，梯形 ABCD 的高为 1 ，且 C 在 AB 上的射影为 的焦点，求 m 的值；
（ⅰ）求曲线C' 的方程；
（ⅱ）P 为曲线C' 上一点，P 不在 x 轴上，过 P 作 PB  PD 交曲线C' 于 B，D 两点，求证：BD与曲线C' 在 P 点处的切线垂直．
设m 
2 ，直线 CD 经过点 P 0, 2 ，求OC  OD 的取值范围；
已知数列a 的前 n 项和为S ， a  2 ， S 2S
 2n1 ， n  N* .
nn1n1n
Sn
求证：数列{2n } 是等差数列；
设b  Sn ，b 的前 n 项和为T ；
n3nnn
①求Tn ；
②若对任意的正整数 n，不等式6  Tn  λ 2n 恒成立，求实数λ的取值范围.
在平面直角坐标系中，让任意一点 A 绕一固定点旋转一个定角，变成另一点 A' ，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点 Aa, b 绕原点逆时针旋转θ后得点 A' a' , b'  ，且旋转变
a  a csθ b sinθ
换的表达式为 
，曲线的旋转变换也如此．
b  a sinθ b csθ
(1)将点 A1,1 绕原点逆时针旋转 3π 得到点 A' ，求点 A' 坐标；
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
B
D
C
B
D
A
BC
AD
ABC
选则题
答案解析
(2) 30
6
【解析】（1）取 PD 的中点 F ，连接 EF , CF ，
因为 E, F 分别为 PA, PD 的中点，故 EF / / AD ，且 EF  1 AD ，
2
填空题
12．y = 2或9x−y−16 = 0
an  2n 1
①③④
解答题
又 AD / / BC ，且 BC  1 AD ，则 EF  BC 且 EF / / BC ，
2
则四边形 EFCB 为平行四边形，故 BE / /CF ，
又CF  平面 PCD ， BE  平面 PCD ，故 BE / / 平面 PCD .
（2）由题意得 AB2  BC 2  AC 2 ，所以 AB  BC ，
15．(1) an
 22n1
又因为 AD / / BC ，所以 AB  AD ，
又因为 PA  平面 ABCD ， AB, AD  平面 ABCD ，
(2)证明见解析
【解析】（1）设等比数列an 的首项为a1 ，公比为q ，
a 1 q  q2   421 q  q2
所以 PA  AB ， PA  AD ，
以 A 为原点， AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
由题意得

1
a1 q 1  6
 7  q2  6q  8  0 ，
q 1
B 2, 0, 0 ， C 2, 2, 0 ， E 0, 0,1 ， D 0, 4, 0 ， P 0, 0, 2 ，
解得q = 2 或q  4 ，
因为q  2 ，所以q  4 ，代入可得a1  2 ，
n12n1
所以 BE  2, 0,1 ， BC  0, 2, 0 ， CD  2, 2, 0 ， PC  2, 2, 2 ，
→
设平面 BCE 的法向量为m   x1 , y1 , z1  ，
 → –––→
所以an  2  4 2；
则m·BE  2x1  z1  0 ，令 x  1 ，则 y  0 ， z  2 ，则 →  1, 0, 2 ，
（2） b
 lg a
 lg 22n1  2n 1 ，
 → –––→
m·BC  2 y1  0
111m
n2 n2
则 11
 1 11 ，
设平面 PCD 的法向量为n   x2 , y2 , z2  ，
→
→ –––→

b b2n 12n 1
2  2n 12n 1 
n·CD  2x2  2 y2  0→
→
2
22
n n1
则 –––→
，令 x  1，则 y  1 ， z  2 ，则n  1,1, 2 ，
1  1 111111 
11
n·PC  2x2  2 y2  2z2  0
Tn        1
  .
2  1 3352n 12n 1 2 
16．(1)证明见解析
2n 1 2
设平面 BEC 与平面 PCD 所成夹角为θ，
30
→ →8k6
则csθ
m·n5
5  6
→ → 
m n
，
6
∴ x1  x2  2k 2 1 ， x1x2  2k 2 1 ，
∴ OC  OD  x1x2  y1 y2  x1x2  kx1  2kx2  2
即平面 BEC 与平面 PCD 所成夹角的余弦值为 30 .
1 212
6
 k 2 1 x x
 2k  x  x   4
6 k 2 1
 2k 2 1
 16k 2
2k 2 
 8k 2  4 
2 1
2k 2 10
2k 2 1
 111，
2k 2 1
2k
∵ k 2  3 ，所以1  111 7 ，

22k 2 14
所以OC  OD 的取值范围为 1, 7  .
4 
S 2S
 2n1

Sn1  Sn 1
Sn1  Sn  1Sn
17．(1)2；
18．（1）由
n1n
，得 2n12n
，即 2n12n
，所以{2n } 是公差为 1 的等差数列.
7 
（2）①由（1）及已知得 S1  a1  1 ， Sn  1 (n 1) 1  n ，则S
 n  2n ，
4
(2)  1,  ；

1
b  Sn  n 
n ，于是T
21
 1
2
2 1  2 
2n
2 2  3
2 3 L n 
n
2 n ，
()()()()
【解析】（1）因为梯形 AB 为 的长轴， ABCD 的高为 2
， AB//CD ，
n3n( 3)
( )( )
n33
()()
33
1x21
两边同乘以 2 ，得 2 T
 1 2 2  2  2 3  3 2 4 L n  2 n1 ，
所以点C 的纵坐标为 2
，代入椭圆方程得
m2
  1 ， 4
33 n
3333
2 [1 2 n
3m
可得 x ，又因为C 在 AB 上的射影为 的焦点，
122 22 3
2 n2 n13
() ]
3
2 n1
∴ c 
2
m2 1
3m
，解得m2  4 ，
2
两式相减得 3 Tn  3  ( 3)
2
 () 3
L ()
3
 n ()
3
2
1 2
3
 n ()，
3
∵ m  1，∴ m  2 .
 2  (n  3) ()n1 ，所以T  6  2n  6()n .
()
3n3
 x2
2
:  y  1
y  kx  2 k  R 
6  T
 λ 2n  (2n  6)  2 n  λ 2n  λ 2n  6
（2）由题意，椭圆2
，直线 CD 的方程为，
②不等式n
33n
 x2
设C  x , y  ， D  x , y  ，则 2
y  1 ，化简得2k 2 1 x2  8kx  6  0 ，
依题意，
λ 2n  6
3n
对任意的n  N* 恒成立，令Cn
 2n  6 ，
3n
1 122


2
 y  kx  2
2n  82n  62n  8  3(2n  6)
4n 10
  64k 2  24 2k 2 1  0 ，得k 2  3 ，
则Cn1  Cn 
3n1 3n
3n1
3n1
 0 ，
2因此数列C  为递减数列，则当n  1 时， (C ) 8 ，则λ 8 ，
nn max33
所以实数λ的取值范围是λ 8 .当直线 BD 的斜率存在时，设直线 BD : y  k x  p ， B  x , y , D  x , y  ，
19．(1) A
3
2, 0
 y  k1x  p
1
222
1 122
x
2
(2)（ⅰ） x
2
y
 1；（ⅱ）证明见解析
联立

2  y2
 2 ，得1 k1  x
 2k1 px  p
 2  0 ，
22
a  cs
3π  sin 3π
2
 
则  0, x  x  2k1 p , x x 

121 k 21 2
 p2  2
1 k 2 ，

【解析】（1）由题意可得， 
44，则 A
11
2, 0 ；
b  sin 3π  cs 3π  0
2k 2 p2 p
44
则 y1  y2  k1  x1  x2   2 p  1  2 p 
11
1 k 2
1 k 2 ，
000x
（2）（ⅰ）设曲线C 上任意一点为 x , y  ，且 y  1
，将其绕原点逆时针旋转
3π 得到点 x, y  ，
4
0y y
 k x  pk x
 p  k 2 x x
 k p  x  x   p2
2
3π3π22
y  x
1 21 11 21 1 2112
x  x0 cs 4
则
 y0 sin 4   2
x0  2
y0x0 
，得，
 2   p2  2  2k p 
2  p2  2k 2
2
2
3π3πxy
k1k1 p 1 p
1 ，
 y  x
sin
 y cs

x y
 y 
1 k 2
1 k 2
1 k 2
 2
0
040
42020

111
yx xyxyx
2  22
2
 2
则 x0 y0  1 ，即
2
y
 1，
因为 PB  PD ，所以 PB  PD   x1  m, y1  n x2  m, y2  n
222
'
x2  y2 
  x  m x  m   y  n y  n  x x  m  x  x   y y  n  y  y   m2  n2
故曲线C 的方程为 221；
12121 2121 212
（ⅱ）设 P m, n ，且m2  n2  2 ， m, n  0 ，
  p2  2  2k p  p2  2k 2   2 p 

2  2
m
11
n
m
n
1 k 2
1 k 2
1 k 2
1 k 2
由题意可知，过点 P 的切线斜率存在，故设切线方程为 y  k  x  m  n ，
1111
11

m2  n2  2k 2  2mpk  m2  n2  2  2np
 0 ，
 y  k  x  m  n222
1 k 2
x
联立

2  y2  2
，得1 k  x
 2k n  km x  n  km
 2  0 ，
1
11
则m2  n2  2k 2  2mpk  m2  n2  2  2np  0 ，

则Δ  2k n  km2  4 1 k 2 n  km2  2  4 n  km2  2  2k 2   0 ，
1111
即n  km2  2  2k 2  n2  k 2m2  2nmk  2  2k 2  m2  2k 2  2nmk  n2  2
即m2k 2  mpk  n2  np  0 ，即mk  nmk  p  n  0 ，
因为直线 BD 不过点 P ，所以mk1  p  n  0 ，
 n2k 2  2nmk  m2  nk  m2  0 ，
则k  m ，
n
则mk  n  0 ，得k   n ，
11m
则k k   n  m  1 ，此时 BD 与曲线C' 在 P 点处的切线垂直；

1m n
2
2
当直线 BD 的斜率不存在时，设直线 BD : x  h ，其中h  或h ， h  m ，
x  h

联立x2  y2  2
，得 y2  h2  2 ，则 B h,
h2  2 , D h, 
h2  2 ，

–––→ –––→
则 PB  PD  h  m,
h2  2  nh  m, 
h2  2  n
 h  m2  
h2  2  n
h2  2  n  h2  m2  2hm  h2  2  n2  2m2  2hm
 2m m  h  0 ，不符合题意.
综上，BD 与曲线C' 在 P 点处的切线垂直．