黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附答案）

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7 13. 14. ①②④
解答题：
15.【详解】（1）由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍，
即，则；
又，解得；
由于成绩在内的频率为，在内的频率为，
故中位数位于，设为m，则，解得；
（2）由，可得，
则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为；
又标准差，
故，
则，
则剩余的8个数的方差为.
16．【解答】（1）证明：取CD中点H，连接GH，EH，
因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
所以EF∥AD，由题意，EF＝4，
又G，H分别为CA，CD中点，所以GH∥AD，GH＝AD＝4，
所以EF∥AD且EF＝AD，即四边形EFGH为平行四边形，
故FG∥EH，又FG⊄平面CDE，EH⊂平面CDE，
故FG∥平面CDE；
（2）解：由题意，∠FAD＝90°，∠FAB＝120°，
则AD⊥AF，又AD⊥AB，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面BAF，
所以AD⊥平面BAF，所以AD为三棱锥的高，
设点A到平面FBD的距离为h,
解得所以点A到平面FBD的距离为
17．【详解】（1）（i），，，
，又，所以，，
.
（ii），
所以.
（2），设，则,,
在△ABP中，由正弦定理可得，即，
所以，即,
所以,即，
因为，所以，所以，
.
18．【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点，
得，则四边形为平行四边形，，
由，得，由，得，
则，于是，由，
得，而，平面，则平面，
所以平面.∴
（2）由（1）知，平面,所以平面，
而平面，则平面平面，
在平面内过作于点，平面平面，
因此平面，连接，是直线与平面 所成角，
由，得，
在中，，在中，，
所以直线与平面 所成角的正弦值为.
（3）由（1）得，又，
则，由（2）得，
过作平面于，连接，由平面，得，
而平面，则平面，
又平面，则，是二面角的平面角，
显然，当且仅当重合时取等号，，
所以二面角的正弦值的最大值为.
19．【详解】（1）因为，则，又，
则．
（2）不正确，理由如下，
因为，则，又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的．
（3）因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又，所以，解得，
因为，所以满足题意，
所以，
又，所以，则的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
C
D
A
A
B
D
AB
ABC
ACD