黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案

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一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
2．已知命题，．则（ ）
A．为真命题，命题的否定：，
B．为假命题，命题的否定：，
C．为真命题，命题的否定：，
D．为假命题，命题的否定：，
【答案】C
3．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
6．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
7．已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
8．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或
B．已知，则的解析式为
C．已知，则
D．已知，则
【答案】BC
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向右移个单位长度后，图象关于轴对称，则的最小值为
D．若关于的方程在上有两个实数根，则实数的取值范围为
【答案】ACD
11．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．在区间上单调递减
C．在区间内有3个零点
D．
【答案】BC
三、填空题
12．函数的严格增区间是 .
【答案】
13．已知，且，则的最大值为 ；
【答案】
14．已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
四、解答题-问答题
15．已知全集，集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】
（1）因为集合，，
所以，
，或，或.
（2）当时，，解得，满足，故；
当时，由，得：或，解得或，
综上，实数的取值范围为.
16．如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点、．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】
（1）由已知，角的终边与单位圆交于，则，，
因为，故，所以，
故原式.
（2）因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，则，，
因为，所以，
由（1）得，
，
因此.
17．已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
，
令，解得，，
所以的单调递减区间为，；
（2）“对恒成立”等价于“当时，”
因为，所以，
当，即时，的最大值为.
所以，得，
所以实数的取值范围为.
18．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)求函数的值域．
(3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值．
【答案】
（1）偶函数，理由如下：
由题意得，则，
所以的定义域为，关于原点对称，
由，
则，
所以是偶函数.
（2）因为，
因为，又因为，则，
①当时，为增函数，此时，故的值域为，
②当时，为减函数，此时，故的值域为.
综上所述，当时，故的值域为.
当时，的值域为.
（3）由题意，
设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数，
所以时，，
所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上，
①当，即时，此时在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去；
②当，即时，此时在区间上单调递减，
在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意；
③当，即时，此时在区间上单调递减，
所以当时，最小值为，解得舍去.
综上所述，的值为.
19．设次多项式，若其满足 ，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)由的表达式求；
(2)由第（1）问结论求的值；
(3)证明是方程的根，并求的值.
【答案】
（1）因为，
所以，
所以
所以.
（2）由（1）知，
又
所以，
又，所以，
所以，即，
因为，解得（舍去）.
（3）证明:将代入得，
，
所以，
即是方程的根.
不妨取，设，
因为为方程的根
则，
，
而，
所以，所以.