黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

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选择题：

二、填空题：
13．__充要__ 14．_______
15.___7____ 16．_____；_____.（第一空2分，第二空3分）
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
【详解】
(1)解：选①，由，得（负值舍去）．
选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．由得．
选③，设第项为常数项，，由，得．
由得展开式的二项式系数最大为，则展开式中二项式系数最大的项为．
(2)解：设第项为有理项，，
因为，，，所以，
则有理项为，，，．
18.（本小题满分12分）
【详解】
解：（1）由条件知，解得，所以，，，
，
依据小概率值的独立性检验，有把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．
（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．
由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．
，，．
所以X的分布列为
数学期望
．
19.（本小题满分12分）
【详解】
由，得，则，
又切点为，所求切线方程为；
(2)令得：，又，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，
20.（本小题满分12分）
【详解】
（1）依题意，实数对（x，y）共有16种，使的实数对（x，y）有以下6种：
，所以；
（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4．
有以下6种：，所以；
有以下2种：，所以；
有以下1种：，所以；
有以下1种：，所以；
所以的分布列为：
，
答：的数学期望为．
21.（本小题满分12分）
【详解】
(1)时，消费者购买该纪念品的概率，
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
；
(2)由（1）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望达到最大值．
22.（本小题满分12分）
【详解】
(1)定义域为．
当时，对均成立，∴在上单调递增
当时，令，解得；令，解得
∴在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，时，在上单调递增：
时，在上单调递增，在上单调递减．
(2)是的两个零点，由(1)可知：
时，在上单调递增，最多存在一个零点，不合题意；
故只考虑的情况,此时在上单调递增，在上单调递减．
又∵是的两个零点，则必有一个在上，一个在上
不妨令，,
要证,即证,即证,即证
由题意有：
要证，即证即证
法一：即证∵∴
又因为且在上单调递减
要证只需证而
即证
令

∵
时，∴
∴对都成立∴在上单调递增，∴从而命题得证．
法二：即证,由
即证即证
即证令，即证
令，
∴在上单调递增．∴从而命题得证．
1
2
3
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6
7
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9
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12
D
C
C
A
C
B
C
D
B
A
CD
ACD
X
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3
P
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3
4
0
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4