黑龙江省大庆市铁人中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份黑龙江省大庆市铁人中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了椭圆 E ，113，  1等内容，欢迎下载使用。
2026.1
注意事项：
答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只．有．一．项．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
2
双曲线 x
2
y2
8
 1 的渐近线方程为（ ）
2x  y  0
x  2 y  0
4x  y  0
x  4 y  0
如果 ab  0 ，那么直线 ax  by 1  0 一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．坐标原点
椭圆3x2  y2  9 的焦距为（ ）
3
A．
B． 2C．
D． 2
3
6
6
正项等比数列an 的前?项和为 Sn ， S2  4 ， S4  40 ，则 a3  ()
A. 6B. 9C. 8D. 11
若圆 x2  y2  2x  6 y 1  0 上恰有三点到直线 y  kx 的距离为 2，则k 的值为()
A． 1 或 2B． 3 或 4
C．2D． 4
243
x2y2
3
A, B
已知双曲线C :
a2b2
 1(a  0, b  0) ，斜率为 4 的直线与双曲线C 相交于点
，且弦
AB 的中点坐标为(1,1) ，则双曲线C 的离心率为（ ）
5
A．2B．C．4D．5
记 Sn 是公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和，若 a3  S5, a2a4  S4 ，则使 Sn  an 成立的 n
的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2
2
已知直线l 过点(2,0) 且与直线 y  x 平行， P 为抛物线C : x2  4 y 上的动点， P 到C 的准线的距离为 d1 ， P 到l 的距离为 d2 ，则 d1  d2 的最小值为（ ）
2
2
​
3 2
2
D．2
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
下列说法正确的是（ ）
已知 AB  1, 2, 1 ， BC  2, 4, 3 ，则 A,B,C 三点共线
→→
已知a  0,1, 4 ， b   3, 0, 1，则 a 在b 上的投影向量为b
–––→
已知三棱锥O  ABC ，点 P 为平面 ABC 上的一点，且OP 
则m  n  1
2
1 –––→–––→–––→

OA  mOB  nOC n, m  R ，
2
→α→
若直线l 的方向向量为e  3, 0, 1 ，平面 的法向量为n  9, 0, 3 ，则l / /α
在平面内，存在定圆 M 和定点 A，点 P 是圆 M 上的动点，若线段 PA 的中垂线交直线 PM 于点 Q，关于点 Q 轨迹叙述正确的是（ ）
当点 A 与圆心 M 重合时，点 Q 的轨迹为圆
当点 A 在圆 M 上时，点 Q 的轨迹为拋物线
当点 A 在圆 M 内且不与圆心 M 重合时，点 Q 的轨迹为椭圆
当点 A 在圆 M 外时，点 Q 的轨迹为双曲线
如图，曲线 y2  x( y  0) 上的点 Ai 与 x 轴非负半轴上的点 Bi1, Bi (i  1,2,..., n) ，构成一系列斜边在 x 轴上的等腰直角三角形，记为△B0 A1B1,△B1A2B2 ,...,△Bn1An Bn （ B0 为坐标原
点）．设△BA B 的斜边长为 a ，点 B (b ,0) ， △BA B 的面积为 S (n  N  ) ，则下列说
n1 n n
nnn
n1 n nn
法中正确的是（ ）
A．数列an 的通项公式an  2nB．数列S 的通项公式 S  n2
nn
C．数列b 的通项公式b
 n2 1
D． 1  1
L 1  2
nn
S1S2Sn
三、填空题(本题包括 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把正确答案填在答题卡中横线上)
若两条直线l1 : x  2 y  m  0 与l2 : 2x  ny  6  0 垂直，则 n  .
2
已知椭圆 x
2
 y2
 1，其右焦点为 F ，现把椭圆长轴分成 6 等分，过每个等分点作
x 轴的垂
线，交椭圆上半部分于 P1, P2 , P3, P4 , P5 ,则 P1F  P2F  P3F  P4F  P5F =
设 S 是数列a 的前 n 项和， S  (1)n a  1  1 , n  N  ，则 S．
nnn
n2n2
2027
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.（本小题 13 分）已知数列an是等差数列， bn是等比数列，且满足
a1  b1  1, a2  b2 , b3  1 a2  a3 .
分别求an, bn的通项公式；
求数列an  bn的前 n 项和Tn .
16.（本小题 15 分）已知动点 M (x, y) 到点 F 2, 0 的距离与点 M 到直线 x  2  0 的距离相等，过点 F 的直线l 交点M 的轨迹于点 A, B ，点 A 关于 x 轴的对称点为 A ，其中直线l 与 x 轴不垂直．
求点M 的轨迹方程；
求证：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标.
17. （本小题 15 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，侧棱 PD  底面
ABCD, PD  3, AD  2, CD  4 ,点 E 是 PC 的中点.
求证： PA // 平面 BDE ；
若ADC  120∘ ，求直线 DA 与平面 BDE 所成角的正弦值．
x2y2
18.（本小题 17 分）椭圆 E :
的左、右焦点分别为 F , F ，点
为椭圆 上
a2b2
1(ab0)
12PE

动点．当 P 点在长轴端点时，??1 ∙ ??2=1；当 P 点在短轴端点时，??1 ∙ ??2=0．过 F1 作直线 PF1 的垂线l1 ，过 F2 作直线 PF2 的垂线l2 ，直线l1, l2 的交点为Q ．
求椭圆 E 的标准方程；
若四边形 PF1QF2 为平行四边形，求平行四边形 PF1QF2 的面积；
若点 P 在第一象限，点Q 在椭圆 E 上，求点 P 坐标．
19.（本小题 17 分）已知在数列an 中， a1  1，其前 n 项和为 Sn ，且
3tSn  2t  3 Sn1  3t t  0，n  N，n  2 ．
求证：数列an 是等比数列；
设数列a 的公比为 f t  ，若数列b 满足b  1，b
 f  1 n  N ，n  2 ．
nn13n
 b
 n1 
①若用x 表示不大于 x 的最大整数，试求 1
b b  b b  b b  b b L b b  的值；
100
1 22 33 44 5100 101 
②设数列 1  的前n 项和为T ，若存在正整数m, n m  n ，使得T ,T
,T 成等比数列，试求
b bn
1 mn
 n n1 
出所有的m, n 的值．
大庆铁人中学 2024 级高二年级上学期期末考试数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
D
B
D
B
C
C
BC
ACD
ABD
12.113.
15.（本小题 13 分）
514.  1
2
2
设等差数列an 的公差为 d，等比数列bn 的公比为q q  0 ，依题意
1 d  q
d  2
， 解得，所以a
 1 2(n 1)  2n 1, b
 3n1 .


q2  11 d 1 2d q  3nn
n
设等差数列an 的前 n 项和为Sn ，等比数列bn 的前 n 项和为S  ，
n(a  a )n(1 2n 1)2
b (1 qn )1 3n
3n 1
因为Sn  1n  n ， Sn  1 
22
a  b 
 
1 q
2  3n  1
22
所以数列 nn 的前 n 项和为TnSnSnn22 .
16.（本小题 15 分）
由已知条件知，点M 到点 F 的距离与到直线 x  2 的距离相等，由抛物线的定义可知点M
的轨迹为以点 F 为焦点， x  2 为准线的抛物线．
设抛物线的方程为 y2  2 px  p  0 ，则 p  2 ，得 p  4 ，所以点M 的轨迹方程 y2  8x ．
2
设直线 AB 的方程为 x  my  2, A x1 , y1 , B  x2 , y2  ，则 A x1 ,  y1  ．
 y2  8x
由
消去 x 得 y2  8my 16  0 ，由韦达定理得 y1 y2  16, y1  y2  8m ．
x  my  2
直线 AB 的方程为 y  y  y2  y1  x  x  ，
1x  x1
21
化简、整理得 y  y  y  y y  y2  8x  8x ．
211 211
又 y2  8x ，所以直线 AB 的方程为 y  y  y  16  8x  8 x  2 ．
1121
所以直线 AB 经过定点2, 0 ．
17.（本小题 15 分）
连接 AC 交 BD 于点O ，则OA  OC ，因为 PE  EC ，所以 EO / / PA ，
因为 EO  平面 BDE ，而 PA 不在平面 BDE 内，所以 PA / / 平面 BDE .
3
在△ ABD 中，因为DAB  60 , AD  2, AB  4 ，所以根据余弦定理得 BD  2，
所以 BD2  AD2  AB2 ,则 DA  DB ，又 PD  平面 ABCD ，所以以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
D 0, 0, 0, A2, 0, 0, B 0, 2 3, 0, C 2, 2 3, 0, P 0, 0, 3 .
E  1, 3, 3 
–––→

–––→–––→3 
所以  ，所以 DA
2, 0, 0, DB  0, 2 3, 0, DE   1, 3,  .
2 
→
–––→
→
DB·m  0
2 
设平面 BDE 的法向量为m   x, y, z  ，则–––→ →，
→
DE·m  0
2 3y  0

即
，令 z  2 ，则 x  3 ，所以m  3, 0, 2 .

x 

3y  3 z  0
2
设直线 DA 与平面 BDE 所成角为θ，
9+4
|??||?|
2×
13
则sinθ |cs ⟨ ??,?⟩|=| ??∙? | = 6 = 3 13.
18.（本小题 17 分）
由题意，当 P 点在长轴端点时，取 P(a, 0) ，则 PF1  PF2
 (c  a, 0)  (c  a, 0)  a2  c2  1
①，当 P 点在短轴端点时，取 P(0, b) ，则 PF1  PF2
 (c, b)  (c, b)  b2  c2  0 ②，
由②得b  c ，故a 
（2）
2b 代入①，可得b  1， a 
2 ，故椭圆 E 的标准方程为 E : x
2
2
 y2  1 .
如图 1，若四边形 PF1QF2 为平行四边形，又l1⊥PF1 ，则l1  QF2 ，即
PF1QF2 为矩形，
2
设| PF1 | m,| PF2 | n ，则m  n  2
(2 2)2  4
(m  n)2  (m2  n2 )
，又 PF1  PF2 ，则m2  n2  4c2  4 ，
PFQF
于是mn  2 ，故平行四边形12 的面积为
22
SPF1QF2
 2S
V PF1F2
 2  1 mn  2 .
2
​
2
x
如图 2，设 P(x0 , y0 ) ，则 x0  0, y0  0 ，且 0  y2  1 ，
y
y
20
因k
y0 , 且 PF  l ，故k
  x0 1 ，则l : y   x0 1 (x 1) ；
PF1
x0 1
11l11
00
因 x  1，则k
y0
, 因 PF
 l ，故k
  x0 1 ，则l
: y   x0 1 (x 1) .
0PF2
x0 1
22l22
00
y
y
 y   x0 1 (x 1)
x  x
y0
由
 Q
联立解得： 
0
x2 1 ，
x 1
yQ  0
 y   0 (x 1)y
0
y0
x2 1
x23
0
因点 Q 在椭圆 E 上，则得 x2  2 ( 0)2  2 ，将 y2  1 0 代入化简得： x4  2x2  0 ，
y
2
2
000
0
解得 x  2 3 ， y  3 ，即点 P 坐标为 P  2 3 , 3  .
0303
 33 

19.（本小题 17 分）
【详解】（1）因为3tSn  2t  3 Sn1  3t t  0，n  N，n  2 ，所以
3tS 2t  3 S  3t t  0，n  N  ，两式相减，得3ta 2t  3 a  an1  2t  3 ，
n
n1n
n1
an3t
在3tSn  2t  3 Sn1  3t t  0，n  N，n  2 中，令n  2 ，得
3tS  2t  3 S  3t  3t a  a   2t  3 a  3t  a  2t  3 ，显然 a2  2t  3 ，
2121123t
所以数列an 是等比数列.
a13t
由（1）可知： f t   2t  3 ， b
 f  1  
2  1
bn1
 3
n  N ，n  2  b  b
 2 ，
3tn
 b
3 1 
nn13
 n1 
bn1
所以数列b 是公差为 2 的等差数列， b  1  n 1 2  2n 1 ；
n
①： 1 b b
b b
3
 b b
b b
n
L b b
333

100
1 22 33 44 5100 101
 1 b b  b b   b b  b b  L b b b b 
100 1 22 33 44 5100 10199 100 
 1  b  2  2  b  2  2 L b 2  2 
100  2343
1003 

1414 b  b  50 2  2 1  2 100 1
 b2  b4 L b100    2100  33  202 ，
1003
1003239
所以 1 b b  b b  b b  b b L b b   22
1001 22 33 44 5100 101 
119
 9 1
1
②： bnbn1
2n 1  2n 1
33
2n 12n 1
2  2n 12n 1  ，

T  9  1  1  1  1 L11  9 11  9n ，
n2  1 3352n 12n 1 2 2n 1 2n 1

当T1，Tm，Tn 成等比数列时，
 9m 29n
3m2
2  6
2  6
  3 n  0  2m2  4m 1  0  m ，
 2m 1 
2n 1
2m2  4m 122
当 m  1时， n  1 ，不成立；
6
所以m  N ，m  2 ， 2  则m  2 ， n 
3  22
 12 ，

32  22  4  2  1
所以存在正整数m  2, n  12 ，使得T1，Tm，Tn 成等比数列.