初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形集体备课课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形集体备课课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了学习目标，对角线，对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等，∴ACBD等内容，欢迎下载使用。
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. (重点)2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. (难点)
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这堂课我们一起探讨矩形的判定吧.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
已知：如图，在□ ABCD中， AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AD∥BC，
∴△ADC≌△BCD.∴∠ADC = ∠BCD.又∵∠ADC +∠BCD = 180°，∴∠ADC = ∠BCD = 90°. ∴ □ ABCD是矩形.
在△ADC 和△BCD 中，∵ AD = BC，DC = CD，AC = BD，
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵ OA = OD，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点 D 是 AC 的中点，直线 AE∥BC，过点 D 作直线 EF∥AB，分别交 AE ，BC 于点 E ，F.求证：四边形 AECF 是矩形.
证明 ∵ AE // BC，∴ ∠1 =∠2.在 △ADE 和△CDF，
∵ ∠1 =∠2，AD = CD， ∠ADE = ∠CDF，∴ △ADE≌△CDF.
∴ AE = CF.∴ 四边形 AECF 是平行四边形.∵ AE // BC，EF // AB，∴ 四边形 ABFE 是平行四边形.∴ EF = AB.∵ AC = AB，∴ EF = AC.∴ 四边形 AECF 是矩形 .
1. 如图，在□ ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 □ ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BCC．AD = BC D．AB = AD
2. 如图，□ ABCD 中，∠1 =∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是矩形.理由如下：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO，DO = BO.又∵∠1 = ∠2，∴ AO = BO. ∴ AC = BD.∴ □ ABCD 是矩形.
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
例3 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°，∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.∴ AB∥CD，AD∥BC.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.又∵∠A = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.
几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.
矩形的判定定理 2： 有三个角是直角的四边形是矩形.
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例4 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线，
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
例5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴ 四边形 ADCE 为矩形．
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中合理的是 （　　）A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角
1. 下列判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ）A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，∴∠ADC = 90°.在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，∴ AB2 + BC2 = AC2.∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.∴ 四边形 ABCD 是矩形．
4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形．
证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB.∵ AN＝CM，ON＝OB，∴ ON＝OM＝OD＝OB.∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD. ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形.
5. 如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是外角的平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形．
证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵ AE 是△ABC 的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC. ∴ AE∥BC. 又∵DE∥AB，∴ 四边形 AEDB 是平行四边形.
∴ AE 平行且等于 BD.又∵ BD＝DC，∴ AE 平行且等于 DC.故四边形 ADCE 是平行四边形.又∵∠ADC＝90°，∴ 平行四边形 ADCE 是矩形.