初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等边三角形复习练习题

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等边三角形复习练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于（ ）
A . 6cm B . 5cm C . 4cm D . 3cm
2.下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
3. 如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A . 8+2a B . 8+a C . 6+a D . 6+2a
4.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A . 13 B . 12 C . 23 D . 不能确定
5.如图，过等边 ΔABC的顶点 A、 B、 C依次作 AB、 BC、 AC的垂线 MG、 MN、 NG ， 三条垂线围成 ΔMNG ， 若 AM=2 ， 则 ΔMNG的周长为（ ）
A . 12 B . 18 C . 20 D . 24
二、填空题
1.如图，某公园的入口可以抽象成一个等边△ABC，立柱 DE 的端点 D 在AB上，立柱 GF 的端点 G在AC 上，且两立柱均与地面 BC 垂直，若 BD=4，则 BE 的长度为 ________ .
2.六根等长的磁力棒可以搭成的等边三角形最多有 ________ 个．
3.如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ________ ．
4.等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC等于 ________ ．
5.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 ________ ．
6.如图，∠AOB＝30°，M，Q在OA上，P，N在OB上，OM＝1，ON＝ 7 ， 则MP+PQ+QN的最小值是 ________ ．
7.在等腰三角形ABC中， ∠BAC=120° ， AB=AC=8 ， E为BC上一点， BE:BC=1:4 ， DE∥AB ， 交BC于点E，点F为直线DE上一点，则 FA+FB的最小值为 ________ ．

三、综合题
1.如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．
（1） 求证：BD=AE；
（2） 如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
2.已知△ ABC是等边三角形，点 D ， E分别为边 AB ， AC上的点，且有 AE＝ DB ， 连接 DE ， DC ．
（1） 如图1，若 AB＝6，∠ DEC＝90°，求△ DEC的面积．
（2） M为 DE中点，当 D ， E分别为 AB、 AC的中点时，判定 CD ， AM的数量关系并说明理由．
（3） 如图2， M为 DE中点，当 D ， E分别为 AB ， AC上的动点时，判定 CD ， AM的数量关系并说明理由．
3.如图
（1） 如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.
（2） 如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= α ，其中 α 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
（3） 拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
4.在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，垂足为D，点E 为AB 边上一点，点 F 为直线BD 上一点，连接EF.
（1） 将线段 EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段 EG，连接 FG.
①如图①，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C时，连接DG，求线段 DG 的长.
②如图②，点E 不与点A，B 重合，GF 的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH=3BF.
（2） 如图③，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点 N 在边AC上，且DN=2NC，点F从 BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转60°得到线段 EP，连接FP，当 NP+12MP最小时，直接写出△DPN 的面积
5.如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着 AB 和 BC 方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接 PC 并延长，交 AQ 于点G.
（1） 证明： △PBC≌△QCA .
（2） 在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中， ∠CGQ 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出 ∠CGQ 的大小.
四、解答题
1.已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边 △OAB，A(x，0)，其中x是方程 32−13x−1=226x−2的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边 △ACD，连DB并延长交y轴于点E，求 ∠BEO的度数；
（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边 △FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时， GH−AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
2.常用的分解因式的方法有提取公因式法．公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 x2−2xy+y2−16 ， 我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： x2−2xy+y2−16=x−y2−16=x−y+4x−y−4 ．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1） 9a2+4b2−n2+12ab；
（2） 已知 a ， b ， c分别是 △ABC三边的长且 2a2+b2+c2−2ab+c=0 ， 请判断 △ABC的形状，并说明理由．
3.如图一艘轮船在上午8时从A处出发，以20海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西 30° ， 9点30分到达B处，这时测得小岛P在北偏西 60° ，
（1） 求B处到小岛P的距离．
（2） 轮船继续沿正北方向航行，请问继续航行多少小时后与小岛P的距离最近
五、阅读理解
1.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．
2.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．