广东省广州市衡美高级中学高二下学期期中检测数学试题（原卷版）-A4

这是一份广东省广州市衡美高级中学高二下学期期中检测数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试题满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知向量，满足，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
2. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. 55B. 50C. 100D. 58
3. 在展开式中，的系数为（ ）
A. 15B. 90C. 270D. 405
4. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. 9C. D. 1
5. 已知数列，则该数列的第99项为（ ）
A. B. 197C. D. 199
6. 曲线在点处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. 1B. 3C. D.
7. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ）
A.
B 、、三点共线
C. 与是异面直线
D
8. 树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ）
A. 36B. 48C. 54D. 56
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C.
D. 数列的前项和为
11. 已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（ ）
A. B. n的取值为2、3、4
C. D. mn取值为3、6、9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设等差数列的前项和分别为，若，则__________.
13. 已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为_________．
14. 将9个互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求前n项和.
16. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式，若________，求：
（1）的值；
（2）展开式中二项式系数最大的项．
17. 如图所示，在四面体中，平面，是的中点，分别在线段上，且，．
（1）求证：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数
（1）当 时，求函数的单调区间；
（2）若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围；
（3）若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值；
19. 定义正方形数阵满足，其中i，.
（1）若，求数阵所有项的和T；
（2）若m，n，p，，求证：也是数阵中的项；