2024-2025学年广东省广州市衡美高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市衡美高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(x,1,1),b=(−2,2,y)，满足a⊥b，则2x−y=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a6=5，则S11=( )
A. 55B. 50C. 100D. 58
3.在(1+3x)5展开式中，x2的系数为( )
A. 15B. 90C. 270D. 405
4.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)3Δx=3，则f′(x0)=( )
A. −9B. 9C. −1D. 1
5.已知数列1，−3，5，−7，9，…，则该数列的第99项为( )
A. −197B. 197C. −199D. 199
6.曲线f(x)=ex−3x在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. 18B. 16C. 14D. 13
7.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点N在对角线A1C上，点M在对角线A1B上，A1N=13NC，A1M=12MB，以下命题正确的是( )
A. MN//BC
B. D1、N、M三点共线
C. D1M与A1C是异面直线
D. D1N=12NM
8.树人中学的科学社团设计了一块如图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为( )
A. 36B. 48C. 54D. 56
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(4,−2,−4),b=(6,−3,2)，则下列结论正确的是( )
A. a+b=(10,−5,−2)B. a−b=(2,−1,6)
C. a⋅b=22D. |a|=6
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+1，则( )
A. 数列{Sn+1}是等比数列B. an=2n−1
C. Sn=2n−1D. 数列{1an}的前n项和为2−12n−1
11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)存在两个极值点x1，x2(x10B. n的取值为2、3、4
C. mn=m+n+2D. mn的取值为3、6、9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+12n+4，则a9b9= ______．
13.已知函数f(x)=2ax−2lnx，函数g(x)=x−2，若恒有g(x)≤f(x)，则a的取值范围为______．
14.将9个互不相同的向量ai=(xi,yi)，xi，yi∈{−1,0,1}，i=1，2，…，9，填入3×3的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a4=3，S7=14．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=2an+2an，求{bn}前n项和Tn．
16.(本小题15分)
在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式(2x+1 x)n(n∈N∗)，若____，求：
(1)n的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项．
17.(本小题15分)
如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P，Q分别在线段BM，AC上，且BP=2PM，AQ=2QC．
(1)求证：PQ/​/平面BCD；
(2)若AD=BD=2CD=6，BC=3 3，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx−k(x−1)，k∈R．
(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数y=f(x)在区间(1,+∞)上有1个零点，求实数k的取值范围．
(3)是否存在正整数k，使得f(x)+x>0在x∈(1,+∞)上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
定义正方形数阵{a(i,j)}满足a(i,j)=i2−j2，其中i，j∈N∗．
(1)若i+j=100，求数阵{a(i,j)}所有项的和T；
(2)若m，n，p，q∈N∗，求证：a(m,n)a(p,q)也是数阵{a(i,j)}中的项；
(3)若i，j∈{l,2,3,…,n}，i≠j且n≥3，求a(i,j)的值为奇数的概率Pn．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.C
9.ACD
10.ACD
11.AD
12.919
13.[1e2+12,+∞)
14.72
15.解：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
由题知，a3+a4=2a1+5d=3S7=7a1+21d=14，解得a1=−1，d=1，
所以{an}的通项公式为an=n−2；
(2)由题知，bn=2n−2+2(n−2)=2n4+2n−4，
所以Tn=14⋅2−2n+11−2+(−2+2n−4)⋅n2=2n−1−12+n2−3n．
16.解：(1)选条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；故Cn2=n(n−1)2=21，解得n=7；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；故Cn1=Cn6，故n=7；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64，故2n−1=64，解得n=7．
(2)由(1)得：n=7，所以二项式系数的最大项为第4项和第5项，即C73=C74=7×6×53×2=35．
17.解：(1)证明：如图，在线段BD上取一点E，使BE=2ED，
由已知，PE//AD，且PE=23MD=23×12AD=13AD，
在线段CD上取一点F，使DF=2FC，
由已知，QF//AD，且QF=13AD，
所以PE=QF，且PE//QF，因此四边形PEFQ为平行四边形，
所以PQ//EF，又PQ⊄平面BCD，且EF⊂平面BCD，
所以PQ//平面BCD．
(2)由BD=2CD=6，BC=3 3，知BC⊥CD．
以D为坐标原点，过点D与BC平行的直线为x轴，
分别以DC，DA所在直线为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又AD=6，得A(0,0,6)，M(0,0,3)，B(3 3,3,0)，C(0,3,0)，P( 3,1,2)，
则AP=( 3,1,−4)，BC=(−3 3,0,0)，PB=(2 3,2,−2)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PB=0n⋅BC=0，即2 3x+2y−2z=0−3 3x=0，
取y=1，则z=1，所以平面PBC的一个法向量为n=(0,1,1)，
设直线AP与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AP⋅n|AP|×|n||=3 2⋅ 20=3 1020，
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为3 1020．
18.解：(1)k=1时，f(x)=xlnx−x+1，x>0，
f′(x)=lnx+1−1=lnx，
令f′(x)>0，解得：x>1，
令f′(x)0，解得：x>ek−2，
令g′(x)