广东省广州二中教育集团高一下学期期中考试数学试题（原卷版）(1)-A4

这是一份广东省广州二中教育集团高一下学期期中考试数学试题（原卷版）(1)-A4，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分．
1. 是复数为虚数的（ ）
A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件
C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ）
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
5. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ）
A. B. C. 2D.
6. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（ ）
A. 12B. C. 18D.
7. 某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
8. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数是方程一个根，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 复数z的模为5
C. 复数z的虚部为D. 方程的另一个根为
10. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值是
11. 已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，中点．则以下选项正确的是（ ）

A. 直线平面
B 平面平面
C. 直线、、三线共点
D. 过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量_______（用，表示向量）
13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则________．
14. 设是虚数，是实数．则取值范围为________．
四、解答题，本题共5小题，共77分．要求必要步骤和答案必须填写在答题卡上指定区域的指定位置．
15. ，是夹角为的单位向量，设．
（1）计算的大小；
（2）设向量，若与共线，求实数m的值；
（3）是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．
16. 已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍．
（1）求B、C两地之间的距离；
（2）求高铁站D到C地的距离．
17. 如图，正三棱柱中，D为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求．
18. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，当的周长取最大值时，求的面积；
（3）求的取值范围．
19. 法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；
（2），求的最大值；
（3）设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值．