广东省广州市衡美高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市衡美高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(x,1,1),b=(−2,2,y)，满足a⊥b，则2x−y=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a6=5，则S11=( )
A. 55B. 50C. 100D. 58
3.在(1+3x)5展开式中，x2的系数为( )
A. 15B. 90C. 270D. 405
4.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)3Δx=3，则f′(x0)=( )
A. −9B. 9C. −1D. 1
5.已知数列1，−3，5，−7，9，…，则该数列的第99项为( )
A. −197B. 197C. −199D. 199
6.曲线f(x)=ex−3x在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. 18B. 16C. 14D. 13
7.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点N在对角线A1C上，点M在对角线A1B上，A1N=13NC，A1M=12MB，以下命题正确的是( )
A. MN//BC
B. D1、N、M三点共线
C. D1M与A1C是异面直线
D. D1N=12NM
8.树人中学的科学社团设计了一块如图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为( )
A. 36B. 48C. 54D. 56
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(4,−2,−4),b=(6,−3,2)，则下列结论正确的是( )
A. a+b=(10,−5,−2)B. a−b=(2,−1,6)
C. a⋅b=22D. |a|=6
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+1，则( )
A. 数列{Sn+1}是等比数列B. an=2n−1
C. Sn=2n−1D. 数列{1an}的前n项和为2−12n−1
11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)存在两个极值点x1，x2(x10B. n的取值为2、3、4
C. mn=m+n+2D. mn的取值为3、6、9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+12n+4，则a9b9= ______．
13.已知函数f(x)=2ax−2lnx，函数g(x)=x−2，若恒有g(x)≤f(x)，则a的取值范围为______．
14.将9个互不相同的向量ai=(xi,yi)，xi，yi∈{−1,0,1}，i=1，2，…，9，填入3×3的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a4=3，S7=14．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=2an+2an，求{bn}前n项和Tn．
16.(本小题12分)
在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式(2x+1 x)n(n∈N*)，若____，求：
(1)n的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项．
17.(本小题12分)
如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P，Q分别在线段BM，AC上，且BP=2PM，AQ=2QC．
(1)求证：PQ/​/平面BCD；
(2)若AD=BD=2CD=6，BC=3 3，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=xlnx−k(x−1)，k∈R．
(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数y=f(x)在区间(1,+∞)上有1个零点，求实数k的取值范围．
(3)是否存在正整数k，使得f(x)+x>0在x∈(1,+∞)上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
定义正方形数阵{a(i,j)}满足a(i,j)=i2−j2，其中i，j∈N*．
(1)若i+j=100，求数阵{a(i,j)}所有项的和T；
(2)若m，n，p，q∈N*，求证：a(m,n)a(p,q)也是数阵{a(i,j)}中的项；
(3)若i，j∈{l,2,3,…,n}，i≠j且n≥3，求a(i,j)的值为奇数的概率Pn．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，a=(x,1,1),b=(−2,2,y)，
因为a⊥b，所以a⋅b=0，
即−2x+2+y=0，所以2x−y=2．
故选：D．
根据空间向量数量积的坐标运算即可得解．
本题考查了空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，S11=11(a1+a11)2=11(a6+a6)2=11a6=66．
故选：A．
根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解．
本题主要考查等差数列前n项和的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意，含x2的项为C52(3x)2=90x2，
所以x2的系数为90．
故选：B．
根据给定条件，利用二项式定理求出x2的项即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)3Δx=3，
则f′(x0)=Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)Δx=3×3=9．
故选：B．
由导数的计算公式可得．
本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，该数列的通项公式为an=(−1)n+1(2n−1)，
所以该数列的第99项为a99=(−1)100×(2×99−1)=197．
故选：B．
根据已知条件可归纳出该数列的通项公式，进一步即可求出该数列的第99项．
本题主要考查等差数列通项公式的应用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f′(x)=ex−3，
则f′(0)=e0−3=−2，
又f(0)=e0−0=1，
则切线方程为y−1=−2x，即2x+y−1=0，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=12，
则所求三角形的面积为12×1×12=14．
故选：C．
先求出切线方程，即可得到所求三角形的面积．
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接D1C，连接DN延长交AB1于点M，理由如下：
根据题意可知A1D1/​/BC，且A1D1=BC，
所以四边形A1D1CB为平行四边形，
所以D1C/​/A1B，又A1N=13NC，
所以A1NNC=MND1N=A1MCD1=13，
所以D1N=3NM，A1M=13D1C=13A1B，满足A1M=12MB，所以D选项错误；
所以D1、N、M三点共线，所以B选项正确，
所以D1M∩A1C=N，所以C选项错误；
因为MN与BC相交，所以A选项错误．
故选：B．
根据平行六面体的性质，相似三角形的性质，针对各个选项分别求解即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：已知要给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，
若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有C32×A22=6种涂色方法．
若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有C32×A22×C21=12种涂色方法；
当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有C32×A22×C21=12种涂色方法；
同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有C32×A22×C21=12种涂色方法；
当正反两面都用3种颜色时，有A33×2=12种涂色方法．
所以共有54种不同的涂色方法．
故选：C．
利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意，a+b=(10,−5,−2)，a−b=(−2,1,−6)，a⋅b=24+6−8=22，|a|= 16+4+16=6．
故选：ACD．
根据空间向量的坐标运算求解．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+1，
A选项，Sn+1=2Sn+1⇒Sn+1+1=2(Sn+1)，
其中S1+1=a1+1=2，所以{Sn+1}是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，Sn+1=2×2n−1=2n，所以Sn=2n−1，C正确；
B选项，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−1+1=2n−1，
显然a1=1满足an=2n−1，故an=2n−1，B错误；
D选项，1an=12n−1，故1an+1÷1an=12n÷12n−1=12，
即{1an}为公比为12的等比数列，且1a1=1，
所以{1an}的前n项和为1−12n−1⋅121−12=2−12n−1，D正确．
故选：ACD．
A选项，变形得到Sn+1+1=2(Sn+1)，故{Sn+1}是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2求出通项公式；D选项，先得到{1an}为公比为12的等比数列，利用求和公式得到答案．
本题主要考查了数列递推关系的应用，等比数列的判断及求和公式的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：由题意，f′(x)=3ax2+2bx+c为二次函数，x1，x2(x10，令f′(x)>0，解得xx2；令f′(x)−x2≥0，此时x1≥x2，与x10，∴f(x)=x1有2个解，f(x)=x2有1个解，
∴3a(f(x))2+2bf(x)+c=0有3个解，故B选项错误；
当x1>0时，如图所示，f(x)的零点个数为m=3，∴mn=9，m+n+2=8，
故mn≠m+n+2，
当x1=0时，如图所示，f(x)的零点个数为m=2，
∴mn=6，m+n+2=7，故mn≠m+n+2，
当x10)，2ax≥2lnx+x−2(x>0)，
即a≥lnxx−1x+12，
令h(x)=lnxx−1x+12(x>0)，
则h′(x)=1−lnxx2+1x2=2−lnxx2(x>0)，
令h′(x)=0，解得x=e2，
所以当0e2时，h′(x)0)，利用导数与函数单调性间的关系，求出h(x)的单调区间，进而求出h(x)的最大值，即可求解．
本题考查了转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
14.【答案】72
【解析】解：根据ai=(xi,yi)，xi、yi∈{−1,0,1}，i=1，2，…，9，
可知ai的所有可能情况有(−1,−1)，(−1,0)，(−1,1)，(0,−1)，
(0,0)，(0,1)，(1,−1)，(1,0)，(1,1)，共9种．
设每行、每列的三个向量的和为s=(m,n)，
因为xi、yi∈{−1,0,1}，所以m、n∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}．
因为三行向量的和等于三列向量的和，且所有向量和为i=19ai，所以i=19ai=3s．
根据xi、yi在−1，0，1中取值，且它们每行、每列中各出现3次，
可知i=19ai中，横坐标的分量、纵坐标的分量都为0，所以s=(0,0)．
若要使每行、每列的三个向量和为(0,0)，
则每行、每列的三个向量的横坐标的分量和纵坐标的分量都分别为0．
对于横坐标的分量，3个数的和为0，有(−1,0,1)这一种组合情况；
对于纵坐标的分量，3个数的和为0，也有(−1,0,1)这一种组合情况．
因此先确定第一行的填法，第一行的3个向量横坐标的分量要满足(−1,0,1)的组合，
纵坐标的分量也要满足(−1,0,1)的组合．
横坐标分量的排列有A33=6种，纵坐标分量的排列也有A33=6种，所以第一行的填法有6×6=36种．
当第一行确定后，根据前面的分析，可知第二行与第三行的向量有两种不同的填法，
所以不同的填法种数是36×2=72种．
故答案为：72．
先确定每行、每列向量的和的可能情况，由此确定满足条件的向量组合，然后根据排列组公式与乘法原理计算不同的填法种数，即可得到本题的答案．
本题主要考查平面向量的坐标运算、排列与组合的应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】an=n−2；
Tn=2n−1−12+n2−3n．
【解析】解：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
由题知，a3+a4=2a1+5d=3S7=7a1+21d=14，解得a1=−1，d=1，
所以{an}的通项公式为an=n−2；
(2)由题知，bn=2n−2+2(n−2)=2n4+2n−4，
所以Tn=14⋅2−2n+11−2+(−2+2n−4)⋅n2=2n−1−12+n2−3n．
(1)由等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程，求解即可；
(2)由分组求和法，运用等差等比数列的前n项和公式计算即可．
本题考查等差数列的通项公式求法，分组求和法求数列的前n项和，属于基础题．
16.【答案】n=7； 第4或第5项，二项式系数为35．
【解析】解：(1)选条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；故Cn2=n(n−1)2=21，解得n=7；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；故Cn1=Cn6，故n=7；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64，故2n−1=64，解得n=7．
(2)由(1)得：n=7，所以二项式系数的最大项为第4项和第5项，即C73=C74=7×6×53×2=35．
(1)选条件①②③时，直接利用组合数求出n的值；
(2)利用(1)的结论，进一步求出二项式系数的最大项．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】证明见解析； 3 1020．
【解析】解：(1)证明：如图，在线段BD上取一点E，使BE=2ED，
由已知，PE//AD，且PE=23MD=23×12AD=13AD，
在线段CD上取一点F，使DF=2FC，
由已知，QF/​/AD，且QF=13AD，
所以PE=QF，且PE//QF，因此四边形PEFQ为平行四边形，
所以PQ/​/EF，又PQ⊄平面BCD，且EF⊂平面BCD，
所以PQ/​/平面BCD．
(2)由BD=2CD=6，BC=3 3，知BC⊥CD．
以D为坐标原点，过点D与BC平行的直线为x轴，
分别以DC，DA所在直线为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又AD=6，得A(0,0,6)，M(0,0,3)，B(3 3,3,0)，C(0,3,0)，P( 3,1,2)，
则AP=( 3,1,−4)，BC=(−3 3,0,0)，PB=(2 3,2,−2)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PB=0n⋅BC=0，即2 3x+2y−2z=0−3 3x=0，
取y=1，则z=1，所以平面PBC的一个法向量为n=(0,1,1)，
设直线AP与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AP⋅n|AP|×|n||=3 2⋅ 20=3 1020，
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为3 1020．
(1)根据相似可证明PE//AD，且QF/​/AD，进而可得四边形PEFQ为平行四边形，利用线线平行即可求解；
(2)建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解．
本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)k=1时，f(x)=xlnx−x+1，x>0，
f′(x)=lnx+1−1=lnx，
令f′(x)>0，解得：x>1，
令f′(x)0，解得：x>ek−2，
令g′(x)