山东省济宁市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上.
2.选择题答案必须使用2B铅笔《按填涂样例》正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整､笔迹清晰.
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】由，
得，
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是存在命题进行判断即可.
【详解】因为全称命题的否定是存在命题，
所以“”的否定是.
故选：D
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶次根式、分式和对数有意义的要求可构造不等式求得结果.
【详解】由得：或 定义域为
故选：
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是明确偶次根式、分式和对数有意义的具体要求.
4. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】首先变形：，进而可判断，要注意左右平移时只针对x本身而言.
【详解】因为，
根据函数图象平移中的“左加右减”原则知
为了得到函数的图象，只要把函数的图象向右平行移动个单位长度，
故选：B.
5. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正切函数的单调性和对数函数的单调性求解即可.
【详解】，，，
，，
，，.
故选：D.
6. 若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出的正余弦值，由及两角差的余弦公式可得解.
【详解】因为角的终边经过点，
而，所以点在单位圆上，
由三角函数的定义可知，，
则
，
故选：C.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则的值是（ ）
A. B. 1C. 2025D. 2026
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知等式，确定函数的周期，利用周期性进行求解即可.
【详解】，所以函数的周期为，
，
，
因为函数是奇函数，所以.
.
故选：A.
8. 若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数与复合函数的性质结合零点存在性定理得到在上有1个零点，进而推出当时，有个零点，再结合正弦函数性质建立不等式组，求解参数范围即可.
【详解】由题意得，当时，，
结合对数函数与复合函数性质可得在上单调递减，
则在上单调递增，
由一次函数性质得在上单调递增，
可得在上单调递增，
而，，可得，
由零点存在性定理得存在作为零点，
当时，，
令，解得，
而，解得，
因为函数恰有3个零点，所以当时，有个零点，
则具有两个符合题意的，当时，，符合题意，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
综上可得，即正实数的取值范围是，故A正确.
故选：A
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由条件确定可判断A，再结合指数函数单调性判断C，再通过取反例可判断BD.
【详解】由，可知，
所以，A正确，
又在R上单调递增，故，C正确，
取，此时，，故BD错误，
故选：AC
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 最小正周期为
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正切型函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：，所以本选项说法正确；
B：的最小正周期为，所以本选项说法不正确；
C：因为，所以的图象关于点对称，因此本选项说法正确；
D：，所以本选项说法正确.
故选：ACD
11. 已知方程的实数根分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意得，设，利用函数单调性，结合对勾函数逐项判断.
【详解】由于，即，
所以，则，
设，则函数为增函数，且，D错误.
因为所以，A正确；
由于，则，所以，B正确；
由于，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，而由A知，C正确；
故选：ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若幂函数满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以设，
因为，所以.
所以.
故答案为：
13. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由题意得，
因为，所以.
故答案为：
14. 已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调.
【详解】当时，，
因为，所以在上单调递增，
又是上的单调函数，当时，，
所以在上单调递增，且.
由在上单调递增可知
（1）因为函数的图象开口向上，
所以需要上单调递增，且，
即，解得；
（2）需要在定义域上单调递增，所以.
由上知，.
由得，
结合得，解得.
综上，，即实数的取值范围是.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步驟.
15. 已知集合.
（1）当时，求集合；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式的解法，和集合的补集和并集运算即可求解；
（2）由题意得到，进而构造不等式求解即可.
【小问1详解】
或，
则，
当时，，
所以
【小问2详解】
由“”是“”的充分条件，
可得，
可得：，解得，
即实数的取值范围是.
16. 若关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到的两根为，结合韦达定理即可求解；
（2）由（1）求得的最大值，再结合一元二次不等式求解即可.
【小问1详解】
由不等式的解集为，
可知的两根为，
由韦达定理可得：，
解得.
【小问2详解】
由（1）可得：对任意的，恒成立，
令，
则，
因为，所以，
由题意可得：，
即，解得或，
即实数的取值范围是.
17. 某社区依托“智慧康养”服务平台，为高龄老人配备了可实时监测心率的智能手环.研究表明，老人进行太极拳锻炼时，心率呈现“运动期上升并达到峰值”的动态变化；停止锻炼后，心率则呈现“恢复期逐步回落，最终趋于静息心率稳定值”的动态变化.已知某位70岁老年人戴智能手环进行太极拳锻炼，锻炼停止瞬间（记为），智能手环监测到的心率为100次/分钟，随后记录的数据如下：
为了描述该老年人心率（次/分钟）与时间（分钟）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③.
（1）直接写出你认为最符合实际函数模型的序号（无需说明理由）；
（2）根据表中提供的数据，求出你所选函数模型相应的函数解析式；
（3）已知该老年人心率恢复至65次/分钟表示身体“基本平静”，根据（2）中建立的模型，求该老年人停止锻炼后身体恢复至“基本平静”所需的时间约为多少分钟？（精确到0.1分钟）.
（参考数据：）
【答案】（1）② （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由表格中数据的单调性，和是否匀速递减即可判断；
（2）将表格数据代入选择的解析式求解即可；
（3）由（2）求解方程即可.
【小问1详解】
由表格数据可判断函数单调递减，排除③，
由数据可判断不是匀速递减，排除①，
故选②；
【小问2详解】
由（1）：，
代入数据，可得，可得，
再代入数据，可得，可得，
故；
【小问3详解】
由，
可得：，即，
即，
即，
即老年人停止锻炼后身体恢复至“基本平静”所需的时间约为分钟.
18. 某同学用“五点法”画函数（其中）在某一个周期内的图象时，列表如下：
（1）根据上表求的解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）若方程在区间上恰有2个不等的实根，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数图象的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
（3）根据正弦型函数的对称性，结合余弦两角差公式进行求解即可.
【小问1详解】
通过在某一个周期内的图象可以确定，
周期为，，
因为，所以，即，
，函数在上单调递减，
，
因为，所以令，即，
所以的解析式为；
【小问2详解】
，
所以的单调递增区间为；
【小问3详解】
，
因为方程在区间上恰有2个不等的实根，
所以，
因为，
所以不妨设，
所以，
，
.
19. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若关于的不等式只有一个整数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）在上的单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求解参数值；
（2）根据函数单调性的定义证明函数单调性；
（3）根据函数的奇偶性和单调性把问题转化为只有一个整数解的问题，结合分类讨论计算得到参数的取值范围；
【小问1详解】
因为函数是定义在上奇函数，
所以，即，
所以，解得；
【小问2详解】
在上的单调递增，
证明：，则
，
因为，所以，又因为，所以，
即，所以在上的单调递增.
【小问3详解】
由上分析可知函数是奇函数，且在上的单调递增，
不等式转化为，
整理得，
令，则不等式转化为，即，
方程的根为或，
若时，不等式解集为，对应只有一个整数解，
这个整数解只能是，所以，解得；
若时，不等式无解，不符合；
若时，不等式解集为，对应，需只有一个整数解：正整数对应，
需且，即，即.
综上，.
时间（分钟）
0
5
10
心率（次/分钟）
100
80
68
0
0
2
0
0